# АПРОКСИМА

USER

Николай Скатулин

А П П Р О К С И М А Ц И О Н Н А Я

Г Е О М Е Т Р И Я

Книга двадцать шестая

Ми н с к – 2004

1

УДК 513. 0

ББК 22.1

С 36

Скатулин Николай Иванович

С36 Аппроксимационная геометрия

/Мн. УП «Эндиклопедикс», 2004 – 45 стр.

Научно популярное издание об основах

аппроксимационной геометрии.


ISBN 985 6599-87-3

УДК 513. 0

ББК 22.1

ISBN 985 6599-87-3

Научно-популярное издание

Скатулин Николай Иванович

Аппроксимационная геометрия

В авторской редакции

Подписано к печати 01.02.2004. Формат 1/32

Уч. изд. л. 2,1. Уч. печ. л. 2,2 тираж 50 экз.


УП «Энциклопедикс»

2

Лицензия

220050, Минск, ул. К. Маркса, 15, тел. 208-64-

87

Напечатано в типографии «Скиф»

РФ, Смоленск, ул. Дружбы народов, 13.


Аппроксимационная

система проектирования

Аппроксимация – это решение геометрических

задач, при сложных образах фигур, приведением к

простым образам, изображением криволинейной

лини последовательно прямыми отрезками, шагами,

аппроксимами. А также с помощью аппроксим

можно легко построить сложную геометрическую

фигуру и тем самым упростить решение задачи при

математических расчетах. Можно сравнить, что

аппроксима – это наименьшая хорда стягивающая

дугу открытой и закрытой кривой фигуры.

Для


решения


всевозможных

аппрогксимационных задач при проектировании

применяется


аппроксимационная


система

3

проецирования. В дальнейшем мы будем по

надобности называть просто ПАС – проецирующая

аппроксимационная система.

Система ПАС изображена на чертеже №1. Она

состоит из трех взаимно перпендикулярных

плоскостей YSG спроецированных на две или три

плоскости проекций. На чертеже четко видно и

понятно, как три взаимно перпендикулярных

плоскости YSG спроецированы на две плоскости

проекций, фронтальную П1 и горизонтальную П2, в

системе ортогональных проекций. Таким образом, на

чертеже изображена в двух проекциях

пятиплоскостная система проекций.

4

Геометрическая фигура, кривая линия, которая

изображена на чертеже двумя проекциями,

располагается своей особой точкой Ю в центре

пересечения трех плоскостей проекций. Рассматрим

более подробно ПАС – аппроксимационную систему

проецирования, чертежи простого и сложного эпюра,

Чертежи простого эпюра

На чертеже №2 изображена аксонометрия

координатных плоскостей проекций. Все три

плоскости проекций П1,П2,П3, расположенные

взаимно перпендикулярно, делят пространство на

восемь частей, которые называются четвертями или

октантами. Взаимное пересечение трех плоскостей

проекций изображается прямыми линиями, которые

называются осями, и обозначаются соответственно

х,у,ц..

Данная аксонометрия наглядна, но на ней не

удобно и сложно производить чертежи. Поэтому для

работы применяется эпюр аксонометрии,

развернутые плоскости в одну плоскость, чертеж

№3.

5

Ось х, для плоскости П1 и ось у, для плоскости П3 ,

при развертывании плоскостей, являются мнимыми

шарнирами для поворота плоскостей. Но по оси у

сделан разрез. Поэтому, осей у на эпюре две, и их

значение не изменилось.

Если предположить или допустить, что

плоскости проекций на эпюре бесконечны, как

комнатные углы плоскостей стен, то границы

плоскостей проекций показывать нет надобности.

В этом случае эпюр будет выглядеть, как

показан на чертеже №4. А еще более упрощая эпюр,

можно совсем не показывать осей, линий координат.

В этом случае изображаются только проекции

геометрической фигуры, чертеж №5. Наличие эпюра

только предполагается. Без лишний линий, чертеж

более читаемым.

6

Чертежи, на которых изображены проекции

геометрической фигуры, будем называть эпюрными

чертежами, а проекции – эпюрными проекциями, как

на чертеже №6.

7

Чертежи сложного эпюра

Не исключено, что читателю показалось, что

выше изложенное, так просто понимать, что и читать

не надо. Не будем разуверять. Но вероятно это для

читателя хорошо знакомого с Начертательной

геометрией. Однако все не так просто, когда мы

дошли до рассмотрения сложного эпюра. Мы

привыкли видеть трехмерное пространство,

состоящее из трех величин: высоты, длины и

ширины. о сейчас мы должны увидеть и воображать

наше пространство на восемь частей, тремя взаимно

пересекающими перпендикулярными плоскостями,

чертеж №7. А потом это пространство развернуть в

эпюры и спроецировать на плоскости проекций,

чертеж №8. А это с непривычки может показаться

делом очень сложным. Надо упорно утруждать свой

ум, развивать воображение. И это делать очень

полезно

8

Итак, мы взяли три взаимно перпендикулярные

плоскости YSG. Мы не стали обозначать, чтобы не

загромождать чертеж. Заметим, что части на которые

разрезают плоскости пространство будем называть

трехгранниками, чертеж №7. Но важно отметить, что

плоскости называются по взаимному расположению

к заданной геометрической фигуре, частности к

кривой линии. Мы будем пользоваться понятием

прямая и кривая линия.

Итак, плоскость расположенная горизонтально

называется соприкасающейся плоскостью и

обозначается буквой S. Вертикальная профильная

плоскость называется спрямляющая и обозначается

буквой G. И вертикальная фронтальная называется

9

нормальной плоскостью и обозначается Y. Кроме

этого нам понадобятся и другие обозначения линий,

таких, как а – полукасательная, в – главная нормаль и

с – бинормаль. Точка пересечения трех плоскостей

называется особой точкой и обозначается буквой Ю

по отношению к исследуемой точке кривой линии. В

общем случае каждая кривая имеет точку перехода, а

если нет, то за особую точку можно взять любую

точку, например на дуге окружности.

Данную систему трехгранников, чертеж №7,

спроецируем на чертеж простого эпюра. Получим

изображение, показанное на эпюре №8. Чертеж

называется эпюром трехгранников. Если считать, что

плоскости SGY бесконечны, то границы не

показываются. И эпюр трехгранников примет вид,

показанный на чертеже №9. Обозначения также не

наносят на чертеж. таким образом эпюр

окончательно освобождают от второстепенных

линий и обозначений, чертеж №10.

10

И теперь на чистый эпюр наносят

проецируемую геометрическую фигуру, в частности

11

кривую линию. Например, сначала вычерчивают

эпюр трехгранников, а затем

вычерчивается исследуемая кривая линия, чертеж

№ !!.

Еще отметим для понимания положение

трехгранников на эпюре. Это показана на чертеже

№12. По двум проекциям , в основных случаях

можно определить, в каком трехграннике находятся

полу дуги кривой линии. А это дает возможность

выяснить, в свою очередь, к какому классу относится

кривая линия. Так, на чертеже №11 пол-учуга а1

находится в шестом трехграннике, а вторая пол-

учуга а2 – в первом. Такая кривая относится к

кривой с точкой изгиба первого рода.

Парные линии

В аппраксимационной геометрии, исходя их

основ Проективной геометрии, будем считать, что у

каждой линии, есть всегда вторая линия, которая

может взаимно заменить. А именно есть у прямой

12

линии – кривая, а у кривой линии – прямая линия.

Это четкое понятие мы вводим в геометрической

науке впервые. Конечно, возможны варианты, когда у

кривой, например, первая взаимозаменяемая линия –

кривая, а вторая – прямая линия.


Без доказательств видно, что линии а и в – не

равные. Кривая линия а – пол-учуга окружности, в то

время как большая хорда в – диаметр окружности а.

Отметим, что мы здесь речь ведем об

аппраксимационной заменяемости, а не о метрике.

Мы снова подчеркиваем, что взаимозаменяемость

геометрических фигур относится к свойствам

Проективной геометрии.

Поэтому, условимся, что в аппраксимационной

геометрии однозначных линий нет, и будем их

называть ПАРАМИ или парная линия, парная

поверхность, парная фигура. Можно ввести постулат.

С философской точки зрения, что «Если есть одно,

то есть и другое». Будем также утверждать, что если

прямую линию будем называть АППРОКСИМОЙ, то

у нее есть пара, вторая линия и обязательно КРИВАЯ

линия. А аппроксима обязательно, в нашем случае,

прямая линия. Аппроксима – это прямая линия

стягивающая дугу, кривую линию. Упрощенно

назвать в частном случае хорда или диаметр. Кривую

линию рассчитать трудно, а чаще невозможно. В то

время, как прямую линию можно рассчитать по

формулам математики.

13

Что касается метрического расчета парных

линий, при взаимной заменяемости, то можно

прямых – аппроксим – на кривой линии взять

последовательно сколько угодно, по всей длине

кривой линии. При этом, приближенно, с

достаточной точностью, можно принять их равными,

чертеж №14. На чертеже, на полу дуге окружности а,

сделано четыре аппроксимы А. И понятно, что чем

больше аппроксим, тем точнее приближенное

равенство кривой к прямой линии. По

горизонтальной проекции видно, что полу дуга

окружности плоская, вырождается в прямую линию.

Кривые линии могут быть плоскими и

пространственными Понятно, что плоские кривые

лини, типа окружность, эллипс, тор, относительно

простые линии, хотя не сравнить при расчетах с

прямой линией. Что касается пространственной

кривой линии, имеющую несколько переходов, из

одной трехгранной призмы в другую, расчеты ее

производить труднее. Но можно всегда,

пространственную кривую линию разделить на

участковые плоские кривые линии. А после этого

плоские кривые линии необходимо заменить на

аппроксимы, участковые прямые линии. Однако,

имея две проекции пространственной кривой линии,

задача решается сразу, без деления на плоские

участки.

14

Плоские кривые линии

Кривая линия, все точки которой принадлежат

собственной прямой плоскости, называется плоской

кривой линией. Мы будем правомочно употреблять

термин, относительно плоскости, что она может

быть плоской и криволинейной. Пусть не возмущает

слух читателя, что плоскость может быть, в нашем

понятии, прямая и кривая. Мы понимаем, что

принято считать, что поверхность может быть

прямая и криволинейная, а плоскость прямая. Но

если мы имеем понятие, что плоскость прямая, то в

противоположность, должна быть плоскость и

кривая. Мы придерживаемся философского

15

постулата «Все может быть, что может быть». И если

за словом есть понятие, образ, то это

неопровержимая истина.

Плоские кривые линии показаны на чертежах

№15,16,17. Любая кривая линия может иметь один

или несколько переходов: изгибов или изломов.

Место или точка перехода их одной четверти или

трехгранника в другой, как изгиб или излом, как

стык двух кривых, полу кривых или дуг называется

особой точкой Ю. Если кривая линия монотонная, то

в качестве особой точки Ю выбирается на дуге,

любая или необходимая точка. А если

пространственная линия составная, состоит из

монотонных дуг кривых линий, то особая точка

берется на месте стыка двух монотонных кривых.

16

Положение плоских кривых линий относительно

плоскостей проекций многовариантно и существует

возможность выбора. Поэтому, вопрос этот при

рассмотрении, ограничен плоскими кривыми

линиями частного положения, перпендикулярными

одной или двум плоскостям проекций.

Когда плоская кривая линия на эпюре

трехгранника лежит в спрямляющейся плоскости G,

а эта плоскость перпендикулярна двум плоскостям

проекций П1 и П2, тогда она кривая частного

положения – фронтальная кривая линия по

отношению к плоскости проекций П2, чертеж №18.

Когда плоская кривая линия в соприкасающейся

плоскости S., а эта плоскость перпендикулярна двум

плоскостям проекций П2 и П3, тогда она кривая

частного положения и является горизонтальной

17

кривой линией по отношению к плоскости проекций

П1, а по отношению к фронтальной и профильной –

проецирующей, вырожденной в прямую линию,

чертеж№19. Точка изгиба кривой линии, как особая

точка, неявная, и принадлежит точке Ю.

Когда плоская кривая линия не лежит в

плоскостях S и G, тогда она – кривая общего

положения по отношению к плоскостям проекций

П1 и П2, чертеж №20. Следовательно, она

профильная проецирующая кривая и, значит, тоже

линия частного положения.

Пространственные кривые линии

Кривая линия, все точки которой не

принадлежат собственной прямой плоскости,

называется пространственной кривой линией.

Кривая метрически может быть различной длины,

делать несколько изломов или изгибов. Нас

интересует отдельный ее участок.

18

В этом случае возможны два варианта. Или

можно разделить кривую линию на несколько

участков подобной конфигурации. Или каждый

участок может быть отличной конфигурации друг от

друга. Но в любом варианте, каждый участок будем

считать кривой линией общего положения. Кривые

линии общего положения или пространственные

могут быть классифицированы определенным

образом. Мы начнем их рассматривать с задания,

показанного на чертеже №21. Это плоская кривая

линия профильно проецирующая. Она состоит из

двух полу дуг и принадлежит плоскости N.

Если один конец полу дуги, плоской кривой

линии вывести из собственной плоскости N, с

изгибом в особой точке Ю, в противоположную

сторону, то одна полу дуга останется в первом

трехграннике, а вторая – переместится в шестой

19

трехгранник, чертеж №22. И смотрите чертеж №12.

Мы получили пространственную кривую линию. Эта

линия общего положения. Она не проецируется в

прямую линию ни на одну из плоскостей проекций.

Полу дуги находятся по разные стороны

спрямляющей плоскости G, и по одну сторону от

соприкасающейся плоскости S. Такая кривая линия

относится по классификации у пространственной

кривой линии, с точкой изгиба первого рода.

Если разворот одной полу дуги, таким же

образом, продолжить и дальше, то первую полу дугу

будем изгибать в точке Ю так, чтобы она перешла в

седьмой трехгранник, тогда мы получим

пространственную кривую, у которой полу дуги

находятся по разные стороны от спрямляющей

плоскости[G и соприкасающейся плоскости S. Это

положение пространственной кривой показано на

20

эпюре трехгранников, чертеж №23. По

классификации эта пространственная кривая с

точкой изгиба второго рода.

Если у пространственной кривой,

изображенной на чертеже №24, полу дугу а1

перевести в третий трехгранник, полу дугу а2 –

оставить в первом, то получим пространственную

кривую, у которой полу дуги лежат по разные

стороны от соприкасающейся плоскости S, и

спрямляющей плоскости G. Эта пространственная

кривая относится к кривой с точкой возврата второго

рада.

Если обе полу дуги а1 и а2 расположить в

первом трехграннике, как показано на чертеже №26,

21

то они будут располагаться по одну сторону от

соприкасающейся плоскости S, и спрямляющей

плоскости G. По классификации эта кривая линия с

точкой клюва первого рода.

Если обе полу дуги а1 и а2 располагаются по

разные стороны от соприкасающейся плоскости S. и

по одну сторону спрямляющей плоскости G., чертеж

№ 27, то кривая называется кривой с точкой клюва

второго рода.

22

Возможные варианты

расположения кривых линий на эпюре

трехгранников

а) с точкой изгиба

1 – 5 1 – 6 1 – 7 1 – 8

2 – 5 2 – 6 2 – 7 2 – 8

2 – 5 3 – 6 3 – 7 3 – 8

4 – 5 4 – 6 4 – 7 4 – 8

в) с точкой возврата и клюва

1 – 1 1 – 2 1 – 3 1 – 4

2 – 1 2 – 2 2 – 3 2 – 4

3 – 1 3 – 2 3 – 3 3 – 4

4 – 1 4 – 2 4 – 3 4 – 4

Пять задач

23

___Задача №1 задана кривая линия а,

состоящая из двух полу дуг и имеющая стык в

особой точке Ю, чертеж №30. ак = а1 U а2 и а1 U

а2. Построить в натуральную величину кривую

линию – аппроксиму аа, равную приближенно с

достаточной точностью кривой ак. Тоесть, ак = аа.


Решение задачи дано на чертеже 31 в

следующей последовательности:

1. Выбираем точку Р2 на плоскости Y2

2. Проводим полукасательные Т22 и Т12.

24

3 Строим точки 1 и 2 аппроксим и проводим

участковые аппроксимы

Ю1(Ю1-11 – Ю2-12) и Ю2(Ю1-21 – Ю2-22)

4. Способом вращения вокруг оси Ю,

перпендикулярной к фронтальной плоскости

проекций, определяем натуральную величину длины

участковых аппроксим.

5. Строим в натуральную величину полную

аппроксиму 1–2, проходящую через точку Ю1 на

горизонтальной проекции

Это мы построили минимальную аппроксиму.

Теперь задача состоит в том, чтобы построить

максимальную аппроксиму. Она состоит из отрезков

касательных линий:

12 –Р2 U 22 Р2 = аа = 1-2

Теперь находим среднюю аппроксиму

аа = аа мин + аа мак/ 2

Метрическая точность кривой будет

определена наиболее точно в зависимости от выбора

расположения точки Р – плавающей точки

аппроксимы.

___Задача №2 ак = а1 U а2, а1 U Ю U а2

Построить аа = ак

25

Графически решение задачи дано на чертеже

№32. Для решения задачи взяты две симметрично

расположенные точки Р, относительно точки Ю на

фронтальной проекции. Касательные, проведенные

из точек Р, определяю положение точек 1 и 2. Две

кривые и две прямые – это и есть парные линии. Они

по отношению друг к другу взаимно заменяемые.

Обе аппроксимы Ю1 и Ю2, равные 1-2, прямые

общего положения. Вращением вокруг оси в точке

Ю, перпендикулярно фронтальной плоскости

проекций, определяем их натуральную величину.

26

___Задача №3. Задано: ак = а1 U а2, а1 U Ю U

а2.

Построить аа = ак

Решение дано на чертеже №33. Аппроксима

вынесена ниже, на горизонтальной проекции.

Алгоритм решения: РUY.

Т1Uа1 =1, Т2Uа2=2, Т1<Р2>Т2.

Ю2-12 – Ю пер П2 = Б1, Ю2-22 – Ю пер П2 =

Ю2

Ю1 U ю2 = 12 – аа.

____Задача №4. Задано: ак = а1 U а2, а1 U Ю

U а2.

Построить аа = ак

Графическое решение задачи дано на чертеже

№34.

27


____Задача №5. Прикладная. Задана кривая

линия земной поверхности на некотором участке

трассы дороги. для предварительной оценки, при

постройке дороги, необходимо построить линию

среза и засыпки – продольный профиль для общего

случая с особой точкой Ю.

Графическое решение задачи дано на чертеже

№35.

1. Выбираем две подвижные точки Р(Р2). Чем

ближе эти точки Р и точке Ю, тем меньше объем

среза и засыпки и тем круче линия подъема. Эти

зависимости необходимо учитывать при

проектировании.

28

2. Через точки Р проводим касательные к

заданной кривой линии поверхности.

3. В пересечении касательных и кривой

отмечаем точки 12 и 22.

4. Объединяем три точки 1-Ю-2. Эта линия и

есть линия среза и засыпки. Заштрихованные поля –

это участки среза и засыпки, их площади в

натуральную величину.


АППРОКСИМЫ ПОВЕРХНОСТИ ПАРЫ

В предыдущих параграфах рассматривалось

аппрксимирование кривых линий методом парных

линий, в соответствии с принципом Проективной

29

геометрией, что всегда, если есть одна линия,

обязательно есть и другая, кривая и в пару ей

прямая. Для кривой строились участковые

аппроксимы, прямые линии, определялась их длина.

И затем строилась аппроксима всей кривой линии.

Теперь задача, в некотором смысле обратная.

Как в математике, сложить и вычесть, умножить и

разделить. Теперь по заданной прямой построить

кривую линию, и по кривой кривую, используя

парный принцип Проективной геометрии, и

родственный принцип Аффинной геометрии. Мы

можем задать прямую линию с определенным

шагом, чертеж № 36, а потом ломать прямую в

точках шага, чертеж №37


Но в этом нет определенной закономерности.

И мы не сможем построить то, что необходимо.

Поэтому необходимо применять метод парных линий

30

по цепочке точек, каждая пара которых принадлежит

одной предыдущей образующей геометрической

фигуры, таким образом, что каждая вторая точка

является первой точкой на последующей

образующей.

Если заглянуть немного вперед, в нашу

Проективную геометрию изданную ранее, то это

будут проективные точки, а следовательно это

гармонические точки. Но мы их будем называть

аппроксимационными точками. Аппроксима может

быть плоской и пространственной геометрической

фигурой. Расстояние между точками на ребре и на

направляющей, – на основании, называется шагом,

шаг пары, шаг аппроксимы, шаг кривой. Шаг может

быть равномерным и не равномерным, различным по

величине. Возможны любые варианты.

Пара геометрической фигуры

Каждая точка А задает пару линий а и в, двумя

точками 1 и 2, чертеж №38.

31

Примет №1.Чертеж №39. Задана кривая линия.

Необходимо построить выносные аппроксимы.

Поскольку мы оперируем плоскими кривыми

линиями, то мы опускаем горизонтальную

проекцию. Решение:

1. Заданную кривую разбиваем на участки, на

шаги, с последовательными отметками, ставим

номера.

2. Произвольно выбираем точку 1

3. И затем через точки 1-1 проводим линию

построения. На этой лини отмеряем шаг и ставим

отметку 2.

4. Теперь проводим линию построения через

точки 2-2. И отмечаем точку 3. И так далее, строим

последнюю точку. Таким образом мы построили

аппроксимы, пару.

5 Построенные аппроксимы можно соединить

между собой, и мы получим плавную кривую. В

32

данном случае кривая плоская, как и прямая линия,

чертеж №40, очень простая для построения.

Но есть геометрические фигуры и более

сложные, с которых надо снять образ в более

простую фигуру, в виде простых участковых

аппроксим или получить плавные кривые линии. На

чертеж №41 одна из геометрических фигур задана

ломаной кривой, а другая кривая с точкой Ю в зоне

точки 3. Построенные пары аппроксим несут образ

простых аппроксим и плавных кривых линий.

Таким образом, с помощью аппроксим можно

построить обтекаемые поверхности. Например, как

увидим в дальнейшем, можно проектировать

обтекаемое крыло или многолопастный винт.

33

Полученная пара, при помощи аппроксимационных

перестроений, из сложных линий, ломаной и из

составной кривой, представляет из себя,

монотонную плавную кривую.


На чертежах №42 и 43 аппроксимацированы

геометрические фигуры, несущие сложные образы, в

а более простые геометрические фигуры, в

участковые аппроксимы и плавные кривые линии.

При этом, можно повторить аппроксимацию и

получить однотонную кривую..

34

Приведение геометрических фигур

35

Приведением геометрических фигур называется

преобразование, перестроением многофазовой в

одно-фазовую фигуру. Одно-фазовой называется

кривая линия и кривая поверхность (плоскость),

изогнутая один раз в одном направлении. На

практике производится замена заданной

геометрической фигуры в другую – приведенной

аппроксимой. В данном случае преобразование

осуществляется аппроксимацией геометрических

фигур.

На чертеже №44 заданы две проекции кривой,

фронтально проецирующая, и горизонтально двух

фазовая: 1-2-3 и 3-4-5. Данную кривую приводим

аппроксимацией к одной фазе. Иногда для

построения геометрической фигуры достаточно

одной проекции. Это зависит от сложности

геометрической фигуры и задачи поставленной при

построении.

Так, например, если криволинейная плоскость,

что показана на чертеже №45, то приведенная

геометрическая фигура выглядит совершенно иначе.

Апроксимы горизонтальной проекции больше по

размерам.

36

В этом случае построение надо начинать от

центра и с горизонтальной проекции, поскольку

участковые аппроксимы больше по метрике

фронтальных проекций.

37

Очень просто развертывается геометрическая

фигура, как цилиндр, чертеж №46. Сравнивая

построение чертежей №45 и №46, мы приходим к

выводу, что при развертке геометрических фигур все

время надо подходить индивидуально, в зависимости

от конфигурации фигуры.

Если взять для аппроксимации усеченный конус,

чертеж №47, то развертка производится по

образующим усеченного конуса, в соответствии с

принятым шагом аппроксимаций.

Конструкторские задачи

38

Задана плоская кривая половиной

окружности. Необходимо построить внутреннюю

аппроксимацию. Выполнена конструкция на

чертеж №48

Задана прямая линия. необходимо построить

аппроксимы. Конструкция выполне5на на чертеже

№49.

39

Поверхности с криволинейной аппроксимой

Поменяем местами в паре линий. Раньше в паре

линий прямую мы называли аппроксимой, а кривую

линию заданной. Теперь будем называть

аппроксимой кривую линию или поверхность.

Треугольник аппроксимы кривой и поверхности

является простейшей одношаговой аппроксимой.

При простейшей образующей треугольник имеет

40

всегда одну и ту же форму, три прямых и три угла. А

если к треугольнику задать криволинейные

аппроксимы, то мы получим несколько

аппроксимационных фигур. Чертеж №50. Можно

увидеть разницу построений геометрических фигур

на чертеже №51.В первом случае аппроксимы

прямолинейные, а во втором случае аппроксимы

криволинейные.

Криволинейные выносные аппроксимы

Если взять за основание окружность и с

помощью криволинейных аппроксим построить

геометрические фигуры, то мы получим фигуры

разных образов. Для примера на чертеже №52,

первая фигура показа для сравнения с

прямолинейной аппроксимой, а последующие с

криволинейной аппроксимой. Полученные фигуры

имеют образы нескольких видов, интересных с

конструкторской точки зрения, скажем фрезы, винта,

шестерни. Формы зуба соответствуют принятой

формы аппроксимы.

41

При построении полных четырех ребер

аппроксим от окружности, получим аппроксиму

поверхности винт, непосредственно на основании

окружности с мощными лопастями и упругими

ребрами жесткости. Чертеж № 53.

42

Если взять в основание геометрическую фигуру

тор, то построим фигуру «Чайку». Чертеж № 54.

На практике могут возникнуть различные

задачи при построении ребра и поверхности

43

геометрической фигуры, используя общие принципы

аппроксимации. Изложенная аппроксимационная

геометрия не претендует на полноту освещения всех

задач аппроксимации. При рассмотрении этого

вопроса, мы только обозначили задачи и некоторые

способы построения парных аппроксимаций, как

прямых, так и кривых, и их взаимозаменяемость. Мы

готовы признаться, что боимся углубляться в дебри

аппроксимаций сложных фигур и их точности.

Поэтому, изложенная аппроксимация не является

полной и окончательной, и даже безупречной. Это

сделана первая попытка, написать подобную

геометрию. Для дальнейшего совершенствования

аппроксимирования потребуются усилия многих

геометров и инженеров.

Имеется бесчисленное множество кривых.

Остановите свое внимание на том, сто прямая всего

одна, а сколько кривых линий? Некоторые их них

даны в приложениях.


44

45

46

47

Document Outline

система проектирования