# ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

USER

НИС К-10

1

Н И К О Л А Й С К А Т У Л И Н

П Р О Е К Т И В Н А Я

ГЕОМЕТРИИЯ


Книга четырнадцатая

С П Е Ц И А Л Н Ы Й

У Ч Е Б Н И К


М И Н С К – 2000


1

НИС К-10

2

НА ДВЕРИ АКАДЕМИИ БЫЛО НАЧЕТАНО:

ПУСТЬ НЕ ВХОДИТ НИКТО,

НЕ ЗНАЮЩИЙ ГЕОМЕТРИИ.

ПЛАТОН

КАК В ЧЕРНИЛАХ И ПЕРЕ

ТАИТСЯ СМЫСЛ ВЫСОКИЙ,

И НИЗКИЙ, И СРЕДНИЙ.

В МРАМОРЕ ОДНОВРЕМЕННО

КРОЮТСЯ ОБРАЗЫ

ВОЗВЫШЕННЫЕ И ГРУБЫЕ,

В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ТОГО,

ЧТО УМЕЕТ ИЗВЛЕЧЬ

ИЗ НИХ НАШ ГЕНИЙ.


МИКЕЛ АНДЖЕЛЛО

НЕЛЬЗЯ ПРИНИМАТЬ ЗА ВЕРУ

ВИДИМЫЕ ЯВЛЕНИЯ.

НУЖНО ПРОНИКНУТЬ

В ИХ СУЩНОСТЬ

И ТОГДА МОЖЕТ ОКАЗАТЬСЯ,

ЧТО ВИДИМОЕ ЯВЛЕНИЕ

СОВЕРШЕННО

НЕ ТОЖДЕСТВЕННО

СУЩЕСТВУЮЩЕМ.

КОПЕРНИК

ВСЯКАВЯ ФИЗИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

2

НИС К-10

3

ДОЛЖНА БЫТЬ ТАКОЙ,

ЧТОБЫ ЕЕ,

ПОМИМО ВСЯКИХ РАСЧЕТОВ,

МОЖНОБЫЛО ПРОИЛЛЮСТРИРОВАТЬ

С ПОМОЩЬЮ

ПРОСТЕЙШИХ ОБРАЗОВ,

ЧТОБЫ ДАЖЕ РЕБЕНОК

МОГ ЕЕ ПОНЯТЬ.

ЭНШТЕЙН

ПОРЯДОК – ОСВОБОЖДАЕТ МЫСЛЬ.

РЕНО ДЕКАРТ

3

НИС К-10

4

Мы начнем с самого простого. Вот с этой картинки,

Заблуды. Надеемся, что она о чем-то говорит? Хотя бы,

поясним, она говорит о том, что не трудно заблудиться в

трех соснах.

4

НИС К-10

5

ТРИ ТОЧКИ АБСОЛЮТА

Ч а с т ь первая

5

НИС К-10

6

ВСТУПЛЕНИЕ

Каждая наука имеет свой язык, свои символы и

обозначения, иначе она не сможет заговорить и ее не

возможно будет понять. Так, математика использует

несколько языков, кроме своего основного языка. Цифры,

буквы, знаки имеют значение понятных слов.

Проективная геометрия, как любая другая наука, в

основе имеет свой язык, однако использует и многие

другие языки. В смысл многих геометрических символов,

которые нам знакомы, вкладываются другие понятия и

свойства. Приведем для примера некоторые из них.

6

НИС К-10

7

Чертеж № 0

1. Точка – это полюсная точка.

2. Прямая – это полюсная линия.

3. Точка на прямой, принадлежащая прямой, имеет

несколько значений. Это полюс однолинейный. Или

однолинейный полюс. Это одно точечный Абсолют.

4. Две точки на прямой – это двух полюсная линия.

Или линия с двумя полюсами. Это двух точечный Абсолют.

5. Точка пересечения двух прямых. Это полюсная

точка. И двух линейный полюс с отображением.

6. Уголок. Это двух линейный полюс, состоящий их

полюсной точки и двух полюсных линий.

7. Точка с тремя прямыми, не лежащими в одной

плоскости. Это трехгранный полюс

8. Треугольник – это трех полюсная фигура.

9. Четырехугольник – это четырех полюсная фигура.

10. Три точки на прямой – это трех точечный

Абсолют Р.

11. Четыре точки на прямой – это гармонический

Абсолют Р.

На практике, используя свойства проективной

геометрии, при геометрических построениях, мы будем

говорить на смешанном языке, и часто уголок – просто

называть полюсом. Он будет основным и отправным

инструментом. А шести полюсная звезда НИС будет

нашим аппаратом исследования и истолкования

проективной геометрии по нахождению главного элемента

проективной геометрии – Абсолюта Р.

Мы будем использовать при построениях, такие

проективные свойства, как полюсность, растяжение,

сжатие, отображение, соответствие, перспектива,

симметрия, пересечение, параллелизм, без размерность,

7

НИС К-10

8

конечность, бесконечность, собственность, не

собственность, абсолютность.

При этом, вершиной всего айсберга проективной

геометрии, в нашем исследовании, является Абсолют Р.

Первую часть книги мы посвятим трех полюсному

Абсолюту. А вторую часть книги посвятим четырех

полюсному Абсолюту, гармоническому Абсолюту.

При этом отметим, что в основе исследования

проективной геометрии лежит двух линейный полюс и их

взаимоотношение. Именно двух линейные полюса

составляют проективную геометрическую фигуру.

Чертежи № 7 и 8. И, используя, проективные свойства

полюсов, мы имеем возможность, строить другие

проективные геометрические фигуры. И в первую очередь

ставится задача нахождения Абсолюта.

Еще остановимся на элементарных проективных

свойствах проективной геометрии, без понятий которых

бессмысленно изучать проективную геометрию. Эти

свойства так понятны, что нам кажется, что мы знали их

всегда, но никто нам не надоумил, чтобы мы обратили на

них внимание. Итак, основные свойства начального

понятия проективной геометрии:

1. Точка – есть главный образ проективной

геометрии. Из проективной точки можно построить

воображением любую геометрическую фигуру.

2. Точка – есть единица множества.

3. Прямая или кривая – это вытянутая из точки

линия в одном направлении. Для начального понятия к

пример заметим, что прежде чем провести прямую на

бумаге, ставим карандашом точку, а из нее, или от нее

проводим прямую.

4. Прямая, в соответствии с принципом

проективной геометрии, стремится в точку, на исходное

место, в образ единицы.

8

НИС К-10

9

5. Прямая, вытянутая в другом направления

образует плоскость или поверхность.

6. Треугольник, прямые которого обладают всеми

выше перечисленными свойствами, еще имеет свои особые

свойства проективности.

7. Гипотенуза стремится к величине суммы двух

катетов, и обратно стремится в точку, к единице.

8. Катеты, из который один стремится к величине

гипотенузы, то другой стремится к единице.

9. Катеты, оба, стремятся к величине гипотенузы.

10. Каждый катет, из двух катетов, стремится стать

гипотенузой, превращая гипотенузу в катет.

ТРЕХПОЛЮСНЫЙ АБСОЛЮТ

Геометрических фигур

Под проективностью мы будем понимать свободное

свойство геометрических фигур, как проективное

соответствие одной геометрической фигуры другой, как

превращение изображения, из одной фигуры в другую, так

и проективное отображение с превращением. И это

условное определение. Потому что мы можем сказать, что

проективность – это придуманные свойства, условности,

принятые постулаты, аксиомы, теоремы, используя

которые, можно строить: писать, рисовать, чертить на

бумаге, принятой тоже условно за плоскость, какие-то

воображаемые геометрические Фигуры – ГФ. Можно

сказать по-другому, короче или длиннее: проективность –

это возможные свойства построения ГФ, Проективность –

это классификация возможностей и свойств начертаний на

бумаге, как на плоскости ГФ. Но главным остается наше

доказательство, что любая классическая геометрическая

фигура, нам понятная, может быть искажена до

9

НИС К-10

10

неузнаваемости, но она сохраняет свои проективные

свойства, и может быть преобразована в исходную.

Мы считаем, что каждый человек, свободный в

выборе давать и делать свои определения. Мы в своей

проективной геометрии – ПГ, не рассматриваем

теоретические и математические выкладки и

преобразования разного толка, которые ранее

неоднократно использовались. А пользоваться

инструментами мы будем как всеми достижениями разума,

так как мы понимаем. И постараемся писать, излагать свое

понятие предмета исследования, и не делать никаких

ссылок на других авторов. У нас другая задача по

исследованию ПГ, со своей точки зрения, с своими

нюансами, которые еще никто не применял, но они уже

известны разуму.

Итак, по нашему понятию, Проективная геометрия

– ПГ, не какая-то еще одна геометрия, среди множества

геометрий придуманных человеком, как евклидова

геометрия – ЭВГ, аффинная геометрия – АФГ,

аналитическая геометрия – АНГ, начертательная геометрия

– НАГ, сферическая геометрия – СФГ, или школьная

геометрия – ШКГ. И некоторые другие, названия книг,

которые я позволю себе перечислить. Передо мной на

столе лежат книги, кроме выше перечисленных геометрий:

дифференциальная геометрия, алгебраическая геометрия,

наглядная геометрия, основания геометрии и еще раз

основания геометрии, многообразие геометрии,

занимательная геометрия и еще пять книг по

начертательной геометрии. Где-то затерялась книга по

проективной геометрии.

Но, по нашему представлению, ПГ – это главная,

основополагающая геометрия. Из которой исходят все

геометрии, как уже написаны, и которые еще напишут.

10

НИС К-10

11

Сама геометрия составляет предмет начертания, который

необходим для нахождения образа, какого-то, о чем-то

понятия. И поэтому, каждая поставленная геометрическая

фигура – ГФ, на бумаге, в предположении, что это сделано

на относительной плоскости, начиная с точки, есть

проективная геометрия – ПГ.

Чтобы легче было понимать и быстрее

воспринимать, излагаемый материал, при изучении нашей

геометрии, мы будем широко использовать аналогии из

жизни, делать сравнения. Итак, что мы будем понимать под

превращением изображения? Для образа. Вы знали

соседку, здоровались с ней, а пришили в театр, и на сцене

ее не узнали. Она играла другую роль, изображала другого

человека, кем она есть на самом деле. Вы посмотрели в

окно и увидели на улице знакомого человека. Он был

только что рядом с вами и ростом такой же, как и вы, а

теперь вы видите его величиной не больше спички.

Произошло превращение изображения и отображение с

превращением. И в тоже время оба образа соседки

соответствует друг другу, и оба образа товарища

соответствую друг другу. В сравнении этих образов, что-то

есть от проективной геометрии. Подумайте, это предмет

для воображения.

Геометрическая фигура в проективной геометрии

обладает свойством превращать свое изображение из

одного вида в другой вид, в иное изображение, скажем, не

по размерам, а по величине. В то же время, имеет

возможность вернуться в первоначальное состояние. Итак,

рассмотрим проективные свойства основных

геометрических фигур. В принципе, некоторые

проективные свойства знакомы, при проецировании, в

ортогональных проекциях, проведением перпендикуляров

11

НИС К-10

12

со всех точек тела на плоскость, тем, кто изучал

начертательную геометрию.

Но это совсем другая геометрия. И поэтому сейчас

мы останавливаемся только на проективности. Все

внимание сконцентрируем только на проективности. И

только потом, после краткого ознакомления с

проективными свойствами геометрических фигур, мы

будем рассматривать более сложные свойства

проективности, как проективная Гармония, и как

проективный Абсолют.

Проективное превращение изображения.

Возьмем для рассмотрения проективности сначала

самые простые две первые фигуры: точку и прямую. Они

обладают свойством, или скажем, способностью,

превращаться взаимно друг в друга: точка в прямую, а

прямая в точку. Этой возможностью и способностью точка

и прямая обладает только в ПГ. Это свойство наглядно

видно на следующем примере. Возьмем сантиметровый

кусок резинки, и будем считать, что это точка. А теперь

растянем резинку, и она превратится в прямую линию. А

если отпустим, то прямая, превратится в точку. Вот это и

есть, по нашему восприятию, первая проективность.

В начертательной геометрии такое свойство прямой

и точки изображается на двух плоскостях проекций,

скажем, на вертикальной плоскости, вычерчивается

прямая, а на горизонтально плоскости ставится точка. Это

самая первая и простая проективность. Иногда говорят, что

прямая вырождается в точку. В ПГ ничто не вырождается,

не умирает. В ПГ нет плоскостей проекций, при

вычерчивании нет понятия, как смотреть, сверху вниз или

12

НИС К-10

13

наоборот. В ПГ есть только лист бумаги, под которым

подразумевается чертежная плоскость.

Поэтому у нас совсем другая геометрия, но

основополагающая, как озеро, из которого вытекают все

реки и ручьи. Но мы не делаем это утверждение в

последней инстанции. ПГ – начало всех начал, это

постулат, не требующий доказательства. И спорить по

этому поводу не надо. И мы других мнений не оспариваем.

Каждый остается при своем мнении. Если вам не нравится

проективная геометрия, то не читайте.

В ПГ мы начинаем рассматривать проективность с

главной фигуры – это точки Ап. К примеру, это мы делаем

потому, и хотя бы только потому, что, с философской точки

зрения, мы рассматриваем Вселенную образно, как

пространство точечного существования, с точечной

энергией, материей, планетами. В принципе, Вселенную во

главе с Сириусом, мы не можем представить, как рваный

футбольный мяч или, как рваную плоскость. Может быть,

она – сфера, может – цилиндр, Но то, что Вселенная

точечная, и наполнена временной материей, не вызывает у

нас сомнения. Это аксиома или постулат. Не знаем. И

проективную геометрию мы рассматриваем, как точечный

мир, как точечную Вселенную. При этом, точку можно

вытянуть в прямую и точку можно раздуть в сферу. И

вернуть их в исходное положение как резинку. Таков и мир

Вселенной. Только творится это не разумом с руками, а

потенциальной энергией, состоящей в самой материи. А

ПГ – все иначе.

Маленькая буква п при обозначении точки Ап

говорит о том, что данная точка А проективная, но не

проекция на плоскости, она нанесена на чертежную

плоскость, а не на плоскость проекций. Мы отличаем это,

13

НИС К-10

14

потому что проективная точка Ап наделена нами

уникальными проективными свойствами, чем проекция

точки на плоскости проекций.

Еще один постулат. Проективная точка Ап – это

наше обозначение общего вида. Но в силу того, что мы

рассматриваем проективные точки двух видов,

обозначение делаем иное, конкретно для этих случаев.

Проективная точка Ас – собственная, здешняя, и точка Ан

– не собственная, не здешняя. Мы вынуждены признать,

что это общее употребимое слово: собственная или не

собственная точка.

Проективные свойства точки Ас и прямой ап

14

НИС К-10

15

Чертеж № 1

С помощь проективной точки Ас мы можем

построить любую ГФ на чертежной плоскости. Начнем с

того, что мы ставим проективную точку Ас на чертежной

плоскости, как это делает каждый школьник. И поскольку

она нами задана, как проективная точка, то мы делаем

первую проективную манипуляцию. Вытягиваем из точки

Ас прямую, то есть на чертеже, проводим прямую,

безразмерную, любой длины, хоть до бесконечности или

до проективной точки Вс, образуя в промежутке отрезок с

проективными точками. При этом, отображение

проективной прямой ап, с другой стороны точки Ас, не

носит других свойств. Эту проективную фигуру, точку Ас

прямой, назовем полюсом. А именно: одинарный полюс,

если с прямой.

Если мы не ставим конечной точки, то образуется

проективная прямая ап, но со всеми свойствами

проективной прямой, и обычной прямой, геометрической

линии. Мы с ней можем делать все, что угодно, помня,

однако, что мы можем ее свернуть, сжать в точку Ас,

вместе со всеми строениями, или со всеми ее атрибутами и

качествами, наделенными при работе на ней, или с ней,

оставив себе на память отпечаток или оттиск.

Надо обязательно помнить свойство, что у

проективной точки Ас нет памяти, она не помнит, что она

была прямой, и что на ней что-то строили. Но мы снова из

проективной точки Ас можем строить прямую до

бесконечности. Но в тоже время, из точки Ас построив

прямую ап, можем отнять у нее проективные свойства. И

считать точку и прямую обычными геометрическими

фигурами. Это очень важное предположение.

15

НИС К-10

16

Но пока точка Ас и прямая ап остаются

проективными, то они являются соответствиями. Точка Ас

соответствует прямой ап, и прямая ап соответствует точке

Ас. Они уравниваются по соответствию и называются

соответствием Асап. Если грубо и отвлеченно говорить, то

для нас все равно, в соответствии Асап, что точка, что

прямая. Это очень важное предположение.

Проективные свойства точки Ас и двух прямых ап

Чертеж № 2

Теперь из проективной точки Ас вытянем две

проективные прямые ап и вп, то есть на чертежной

плоскости построим точку Ас и под углом проведем две

проективные прямые, любые линии, в зависимости от

нашего задания, конечные или бесконечные. Мы получили

двух линейный полюс.

И сразу же мы заметим, что образовалась

проективная плоскость Асапвп: в одном случае

неограниченная с третьей стороны, то есть, бесконечная,

без собственной проективной прямой, а в другом случае,

ограниченная проективная плоскость, собственной

проективной прямой сп. Вот как все пока просто.

16

НИС К-10

17

Но второй случай нам необходимо рассмотреть и

дальше. Потому что, полученный проективный

треугольник АпВпСп мы можем преобразовать в несколько

соответственных проективных треугольников, отделяя

каждый раз ограничительной проективной прямой сп1 ,

сп2 ... итд. Итак, мы получаем, в результате построения,

проективные треугольники: первый – АпВпСп, второй –

Ап1Вп1Сп1, третий – Ап3Вп3Сп3... итд. И еще мы можем

сказать, что если ограничительные, отсекающие плоскость,

проективные прямые Сп проведем параллельно, то

проективные треугольники, вероятно, будут подобными

соответствиями. А во втором случае, если проведем

отсекающие плоскость, проективные прямые Сп не

параллельно, то проективные треугольники будут только

соответственными. Но во всех случаях и все треугольники

будут проективными соответствиями. И по условиям

аффинной геометрии, они будут аффинными, не равными,

а одинаковыми. Не просто проективные, а с уточнением

аффинными треугольниками. И в тоже время, все

построенное является отображениями соответствий.

Проективная плоскость и проективные треугольники –

есть отображения проективной точки. Мы уже говорили,

что для проективной геометрии все равно, что прямая, и

что треугольник, построенный из проективной точки. И на

оборот, проективная точка – есть отображение

проективной плоскости и треугольников. Отображение и

соответствие являются инструментом проективной

геометрии. Примерно так: отобразить, то есть, начертить

что-то подобное так, что все человеческие лица

отображают человека пропорционально, и все лица

соответствуют человеческому лицу пропорционально. Мы

не можем утверждать насколько это удачный пример. Но

этот образ является предметом для понятия и

размышления.

17

НИС К-10

18

Точно так же мы можем поступить, как и с первой

парой соответствий, проективной точкой и прямой, и

сказать, что с проективные: точка Ас, прямые ап и вп, и на

основе их, построенная проективная плоскость – есть

проективные соответствия. Так, опустим слово

проективность для сокращения письма, точка Ап, прямые

ап и вп – есть соответствия и они отображают друг друга.

И точка Ап и плоскость Апапвп – тоже соответствия и они

отображают друг друга. Таковы свойства проективной

геометрии.

Мы со всеми проективными построенными

соответствиями можем проделать проективную

манипуляцию, а именно, сжать и вернуть в исходную

проективную точку Ас, все проективные построения, не

оставив следа, и горько плакать по утрате, или на память

сделав отпечаток. В тоже время, не убирая построения, мы

с построенных фигур можем сдернуть проективные

соответствия, как покрывало, и считать их чертежами на

чертежной плоскости. И все. И будем работать дальше.

Проективные свойства точки Ас и трех прямых ап,

вп, сп.

Чертеж № 2

Во-первых, прежде чем продолжить дальнейшие

исследования и раскрытия тайн проективности, мы бы

хотели упростить обозначения. Мы привыкли уже, что все

обозначения действуют в зоне проективности, и нет уже

надобности, их обозначать дополнительными значками. В

дальнейшем все геометрические фигуры будем обозначать

просто, как в евклидовой геометрии.

Но мы должны постоянно помнить, что мы имеем

дело с проективными геометрическими фигурами, которые

обладают особыми свойствами, и отличаются от чертежной

18

НИС К-10

19

школьной геометрии. Фигуры у нас, в проективной

геометрии, наделяются определенными свойствами.

Например, такими как: растяжения, сжатия, соответствия,

отображения, без размерности, собственности и не

собственности, конечности и бесконечности, пересечения.

И многими другими свойствами обладают ГФ.

Итак, продолжим исследование проективности.

Возьмем точку А, и из нее вытянем теперь три прямых: а,

в, с. У нас все четыре фигуры проективные: А, а, в, с. Со

всеми свойствами, которыми мы наградили их при

исследовании выше. И, в результате построения, мы

получим проективные фигуры со всеми вытекающими

последствиями. Мы рассмотрим два простых случая.

Первый случай, когда все три прямые лежат в одной

плоскости. И это будет бесконечная проективная

плоскость, не имеющая собственной ограниченной

проективной прямой, прямые уходят в бесконечность.

А если мы плоскость ограничим, отсечем,

собственной прямой, то получим треугольники. И они

будут обладать всеми проективными свойствами, которыми

мы награждали уже выше, другие фигуры. Есть много

вариантов, можно отсекать параллельными прямыми, и не

параллельными. На чертеже это видно хорошо и пояснений

не требуется.

19

НИС К-10

20

Чертеж № 3

Второй случай, мы рассмотрим, когда все три

вытянутые прямые а, б, с, из точки А, не лежат в одной

плоскости, а лежат в трех плоскостях, и составляют три

ограниченные плоскости в пространстве до бесконечности

или ограниченны отсекающими треугольниками или

треугольными плоскостями. В принципе, этими

построениями, мы получили новую ГФ, трехгранную

призму с четырьмя сторонами, с треугольным основанием.

И если будем отсекать много раз плоскостями, то будем

получать треугольники и плоскости, а также призмы

подобные, соответствующие, отображенные фигуры друг

друга. Или не подобные призмы. Оговоримся, что когда мы

говорим треугольник, то это только три прямых и три

точки пересечения А плоскость в виде треугольника – это

ограниченная поверхность, ограниченная тремя

отсекающими прямыми, с пересечением в трех точках.

При этом проективном построении все

треугольники в отсеченные параллельными плоскостями

или треугольниками подобные соответствия, отображения,

аффинные, однозначные, не равные, но одинаковые. Точно

такими же свойствами наделяются и призмы, сколько бы

мы их не построили, если отсекаем не параллельными

20

НИС К-10

21

треугольниками или плоскостями. Они будут не

подобными соответствиями.

И опять сделаем замечание, что поскольку все ГФ

проективные, то мы их может вернуть в исходное

положение, то есть, сжать в точку Ап. Если не отпечатали

построения, то горько плачем. И примемся снова за работу,

не страшась усталости. Равных построений сделать

трудно, а подобных, стройте сколько угодно вашей душе.

Все начинайте сначала. И опять же, с проективного

построения мы можем сорвать покрывало проективности.

Тогда будем работать в пределах школьной геометрии.

Проективные свойства точки Ап и поверхности

21

НИС К-10

22

Чертеж № 4

Опять же, из проективной точки Ап вытянем

сплошное, бесчисленное количество прямых, то получим

поверхность конуса, также удаленную в бесконечность. Но,

если мы ее отсечем, то в основании получим окружность

или другие ГФ, которых всего насчитывается до

двенадцати проективных сечений или проективных

плоскостей, как в собственном, так и не в собственном

пространстве, со всеми вытекающими последствиями

проективной геометрии, изложенными выше.

Проективные свойства проективной точки Ап и

сферы

Чтобы построить из проективной точки Ап

проективную сферу, для это надо, надуть точку до

необходимого предела. Тогда образуется тело или сфера. А

если, например, с шести одинаковыми радиусами, то

получится многоплоскостная сфера. Мы приписываем и

этой ГФ все проективные свойства, изложенные для

других построений. И оставляем исследование этой ГФ до

лучших времен.

Проективные свойства точки Ап и четырех прямых,

мы чертежи не приводим, оставляем для построения

читателям.

22

НИС К-10

23

Чертеж № 5

Возьмем полюсную прямую линию а, с тремя

полюсными точками А–В–С. Вытянем из полюса В, новый

полюс К, то мы получим треугольник Продолжим

вытягивание дальше, и вновь вытянутый полюс положим

на прямую полюсную линию в, в любом месте и обозначим

ее В1. Полюсную среднюю точку К оставим на середине.

Теперь подобные, операции с вытягиванием,

проделаем и с полюсами А1–В1–С1, лежащими на

полюсной прямой в. В результате всех этих манипуляций

мы получили шести полюсную звезду, которая носит

название – звезда НИС. Это мы показали, при

последовательном построении, один из наглядных

способов построения проективной геометрической

фигуры, звезды НИС. И показали, что в основе построения

23

НИС К-10

24

проективных геометрических фигур лежат, как инструмент,

полюса.

Проективные свойства полюсной точки Ап, и

четырех прямых полюсных линий, мы оставили

напоследок,


руководствуясь


определенными

соображениями. Заметим, что, познакомив читателей с

основами проективности, мы просто укажем, что можно

произвести проективные построения, проективных ГФ, из

проективной точки Ап с четырьмя и более вытянутыми

проективными прямыми. И поскольку все построения буду

подобными, как было выше изложено, то мы только

ограничимся этим замечанием. Разница только в том, что

это будут многогранники, и в основании будут лежать

многоугольники, Я не думаю, что их исследование

проективности будет простым.

К выше, изложенному, сделаем замечание, что если

в проективном основании ГФ будет лежать квадрат или

прямоугольник, элементарная, классическая ГФ

евклидовой геометрии, то мы окончательно и полностью

построим проективную геометрию. И всю таинственность,

божественность проективной геометрии разделаем в пух и

прах, и взорвем, не оставив камня на камне, обнажив ее до

элементарной классики. Мы думаем, что этим мы еще

сильнее заинтересовали читателя. Мы думаем, что

каждому хочется увидеть, как рухнет Вавилонская башня,

или Пизамская башня, или еще какой-нибудь храм науки. В

теореме шестиугольника Паскаля и теореме пространства

Дезарга, нет ничего сложного и таинственного, как кажется

на первый взгляд. Много наносного и праздничного

эффекта, как в Библии, которую мы очень искренне

уважаем и безмерно ценим. Но геометрия материальна. И

нам приходится из этого исходить. Мы повторяем, что

великие геометры обнаружили свойство геометрического

24

НИС К-10

25

построения прямых, но не изначальное свойство

проективности геометрических фигур. Откуда это свойство

берется? Почему это так? Чем и как это объяснить? Пока

никто не сумел это сделать. Потому что не было

наработано знаний. В тоже время Паскаль и Дезарг

являются первопроходцами, и я их достижений не умаляю.

Они геометрические гении, по-гречески талантоны,

одаренные люди.

Позволю себе отступление. В свое время, я

исследовал действие взрыва взрывчатого вещества в

грунтах, на выброс грунтов. Производил всевозможные

геометрические построения, делал расчеты, составлял

формулы. И вдруг я получил формулу из ГФ с расчетами,

похожую на формулу закона всемирного тяготения,

господина Ньютона. Я нигде, никогда не видывал и не

слыхивал доказательства этой формулы. Я не знал и до сих

пор не знаю, как и каким путем, он ее вывел. А тут я

получил ее расчетным путем, с помощью геометрических

построений. Признаюсь, что было от чего, чтобы меня

бросило в жар. У меня много есть удачных геометрических

находок, но от такой находки можно лишиться рассудка.

И


сейчас,


занимаясь


всевозможными

геометрическими построениями, из любви к искусству, я

нашел много интересного в геометрии. И тут я наткнулся

на источник проективных свойств геометрических фигур.

И, изучая этот источник дальше, образно говоря, я нашел

Паскаля и Дезарга, которые валялись у меня под ногами. Я

нашел простые объяснения загадочности и

таинственности, проективных свойств геометрических

фигур, которые не требуют никаких теоремных

доказательств.

25

НИС К-10

26

Сделаю еще образное замечание, что мы иногда,

чтобы из России попасть в Америку, мы иногда копаем

шахту через центр земли, вместо того, чтобы объехать или

обойти вокруг земного шара. Но таков путь науки. Я отдаю

должное Марксу. Он сказал, что в науке нет широкой

столбовой дороги, и только тот достигнет ее сияющих

вершин, кто не страшась усталости, карабкается по ее

каменистым тропам. Побредем и мы дальше карабкаться

по каменистым тропам священной геометрии.

Я склоняю голову перед подвижничеством ученых

геометров, коих всех не перечислить, как прошлых веков,

средних, так и наших. Хочу перечислить некоторые из них.

Вот некоторые блестящие имена: Гиппократ Хиосский,

Евдокс, Теэтет, Пифагор, Евклид, Платон, а также Эйлер,

Мебиус Паскаль, Брианшон, Дезарг, Понселе, Риман, Клен,

Декарт, Монж, Лобачевский. Много сделали для развития

геометрии Редер, Курдюмом, Макаров. Говорят, что

Курдюмов написал курс начертательной геометрии,

насчитывающий 1100 страниц.

А теперешних геометров, всех я и назвать не могу.

Уже столько наворочено, в смысле написано, геометрий,

что с таким количеством книг можно, не более, как

познакомиться только с названиями. Что там изучить? и

прочитать их всех невозможно!

Это было маленькое развлечение. Читатель

отдохнул от глубокомыслия. Тогда – за дело.

Проективное свойство двух квадратов и

прямоугольника. Эти три геометрические фигуры еще не

один геометр не связывал и не рассматривал их

совместные проективные свойства. А применение их для

26

НИС К-10

27

толкования проективной геометрии и является открытием

проективной геометрии.

Чертеж № 6

Мы получили раньше две проективные ГФ, квадрат

и прямоугольник, в основании секущей плоскостью

четырех проективных прямых, исходящих из одной

проективной точки Ап, как полюса. На этот чертеж надо

обратить особое внимание: на квадрат и прямоугольник.

На Руси говорят, что пляшут от печки. Квадрат и

прямоугольник и есть печка, которая сварит нам всю кашу.

Возьмем эти две ГФ, сделаем необходимые

построения и исследуем их проективные свойства. Для

этого нам не требуются ни постулаты, исходного допуска,

ни теоремы для доказательства. Сначала осторожно в

27

НИС К-10

28

словах кратко напишем аксиому проективности. А потом

изобразим на чертеже.

Аксиома проективности №1.

Линейность – правильных, классических

геометрических фигур, с заданными точками, так и с

прямыми, и их точками пересечения, обладает всеми

свойства проективности внутри самой проективной

геометрической фигуры.

Как автор, я не ручаюсь за точность формулировки.

Посмотрим, как будет выглядеть аксиома на чертежной

плоскости. Удовлетворит ли она нас? Но я пока ее оставлю

в этом варианте.

Задаем на чертежной плоскости правильный

классический прямоугольник, из расчета, что он состоит из

двух квадратов. Уточним, что фигура состоит из двух

квадратов вписанных в прямоугольник. Вы посмотрели на

чертеж № 6? Мы обозначим верхнее основание по углам

квадратов А–В–С, а нижнее основание соответственно А1–

В1–С1. Черточки означают, что эти точки и прямые

проективные. Эти точки будем еще называть полюсами, а

прямые, которые будем из них вытягивать, строить,

назовем одинарным полюсом с одной прямой, с двумя

прямыми – двойными полюсными.

А поскольку для нас в проективной геометрии, что

прямая, что точка, мы эту пару, как бы отождествляем.

Помня, что точка – просто полюс, а точка с прямой –

одинарный полюс. Точка с двумя прямыми – двойной

полюс, итд. И, конечно, наделим их свойствами, которыми

28

НИС К-10

29

они обладали и раньше, то есть, проективными,

соответствиями и отображениями. Полюса нам пригодятся

в дельнейших построениях, при рассмотрении второй

аксиомы проективной геометрии. Полюсность мы

связываем с растяжением и сжатием.

А на чертежной плоскости, в квадратах и

прямоугольнике строим диагонали. Обращаю особое

внимание на построенные диагоналей, и на обозначения

точек углов. Надо это помнить, как теорему Пифагора,

которая была откопана в квадрате, как полезное

ископаемое. Пусть этот чертеж №6 будет всегда перед

вашими глазами. Без него нам работать трудно. Итак, мы

построили диагонали. Таким простым способом мы

построили проективную сетку. Для сведения, она состоит

вся из полу диагоналей, которые являются медианами

треугольников, и в квадратах – перпендикулярами. В

середине находим точки пересечения диагоналей и

обозначаем их буквами Н, В, М. Они находятся на одной

прямой. Эта прямая и есть, проективная прямая Р. Не

верите? Поверьте на слово. И посмотрите на чертеж №6.

Эту прямую мы будем называть Абсолютом Р.

Углы прямоугольника и квадратов, как верхнее, так

и нижнем основании, мы обозначаем одноименными

буквами А, В, С, и А1, В1,0 С1. Они есть проективные

соответствия и являются проективными отображениями

друг друга зеркально. Диагонали, исходящие из этих шести

проективных точек Ап, Вп, Сп, А1п, В1п, С1п образуют

пересечения и проективными точками Нп, Кп, Мп. Эти

точки принадлежат Абсолюту. И поскольку проективные

точки лежат на одной прямой, то и прямая, является

проективной прямой. И пока дальнейшее осмысливание

этой проективной геометрической фигуры делать не будем.

29

НИС К-10

30

Потому что пора перейти ко второй аксиоме проективной

геометрии.

Аксиома проективности №2.

Искажение линейности правильных классических

геометрических фигур, с заданными точками, так и с

прямыми, и их точками пересечения, не нарушает всех

проективных свойств проективной геометрической

фигуры.

Чертеж № 6

30

НИС К-10

31

Вот так и никак иначе. Как и для первой аксиомы,

строим прямоугольник и в нем два квадрата. В первой

аксиоме мы говорили, во всех трех фигурах, в

прямоугольнике и двух квадратах, проводим диагонали, то

есть, как бы мы чертили в евклидовой геометрии. Теперь,

поскольку у нас проективные фигуры, мы оперировать

будем проективными фразами. А именно: наполняем все

три фигуры, прямоугольник и два квадрата, а это для нас,

не равные, но однозначные фигуры, проективными

свойствами, соответствиями с полюсами.

А именно, применяем формулу построения.

Каждую собственную точку, как полюс, как соответствие,

соединяем двойными полюсами с двумя не собственными

точками, полюсами, как соответствиями.

Вот тут и сказывается величайшее значение

полюсного инструмента. Мы построили полюсную фигуру.

Под полюсной фигурой подразумевается проективная

фигура. Поэтому и в дальнейшем будем оперировать

полюсами, не упоминая проективность.

31

НИС К-10

32

Чертеж № 7

В дальнейшем, чтобы обнажить проективность,

полюсной фигуры, мы можем поступить двояко. Скажем

так, образно выражаясь, раздеть полюсную фигуру, то есть

отбросить все стороны квадратов в прямоугольнике. А во

втором случае, отбросить отсекающую прямую у каждого

двойного полюса, а они и есть стороны квадратов и

отсекающие, собственные прямые. Это для нас важно,

поскольку, напомним, полюс может быть бесконечным, без

собственной проективной прямой, и ограниченным

собственной прямой.

Есть и третий вариант, нахождения проективной

прямой, ради которого мы и строили весь огород

проективности. Вычерчиваем два двойных полюса, как

треугольники лежащие в одной плоскости с взаимно

обратными полюсами В и В1. Эти самым мы построили

32

НИС К-10

33

диагонали квадратов. Затем проводим диагонали

прямоугольника А–С1 и А1–С. Эти самым мы образовали

шесть двойных полюса А, В, С, С1, В1, А1. На

пересечениях точек Н К М, строим проективную прямую,

потому что они принадлежат одной прямой – Абсолюте Р.

Чертеж № 8

На чертеже показан очень интересный вариант

построения звезды НИС, которая имеет так же Абсолют Р.

Он не показан. И его легко обнаружить на немом чертеже.

Проводим две длинные пересекающиеся прямые, в

предположении диагонали прямоугольника. А затем из их

вершин строим вправо и влево две полюса В и В1. Мы

назвали, без ложной скромности, шестиугольную звезду,

звездой НИС.

33

НИС К-10

34

Чертеж № 9 и10

Заметим, что, если на чертеже № 8 полюса В и В1, в

силу принципа проетивности сжатия и растяжения,

подвинуть к центру или за пределы границ полюсов, то мы

можем получить интересные ГФ. Проделайте этот опыт, с

растяжением и сжатием, и вы получите новые чертежи №9

и 10 В одном случае, просто пересекающиеся две прямые,

виде буквы Х, с признаком собственности. А в другом

случае, прямые уходят в бесконечность, образуют

параллельные прямые, на вершинах буквы Х. В

дальнейшем на этого свойства мы построим еще несколько

интересных ГФ

Когда мы отбросили стороны квадратов, то

получили чистую полюсную фигуру, скелет

проективности. Мы будем ее называть не только звездой

НИС, но и формулой полюсов формулой полюсов.

Фигура эта правильный многоугольник и

многосторонник. Если это плоскость, то она –

шестиугольная звезда НИС. У ее шесть углов наружных и

шесть внутренних. А если это линейный чертеж, линейная

фигура, то у ее, внутри, уложено четыре равных

треугольника. И во втором подсчете четыре меньших

треугольника и четыре трапеции. Это информация для

размышления. Она нам может пригодиться.

Заметим для размышления. Любая прямая, просто

черта, линия, проведенная на плоскости, обладает всеми

свойствами прямых, которые мы называем на чертеже

различными именами........................

Напомним, что для нас важны точки, лежащие на

одной прямой НВМ, которую Абсолютом Р, точки

полученные, при построении шести полюсов, в результате

пересечения двойных полюсов. Заметим еще, что мы

оперируем, при построении геометрической фигуры,

34

НИС К-10

35

двумя, четырьмя равными двойными полюсами, то есть

парой и двумя парами треугольников. Если сказать просто,

то все шесть двойных полюсов свалены в кучу, друг на

друга. И они образуют пересечения точек, лежащих на

одной прямой – Абсолюте. При условии проективных

свойств прямоугольника.

Есть поговорка, если магазин не идет к Ивану, то

Иван идет к магазину. И мы можем с облегчением

вздохнуть, что наконец-то мы добрались до горы. И не

страшась усталости, вкарабкались на ее вершину. Ура! На

ней мы водружаем русский флаг проективной геометрии.

Ну, что, дорогой читатель, отдохнули? Или мы еще мало

позабавили вас? Но пара идти дальше, ради чего прошли

такой длинный путь.

Геометрическая формула НИС

Постулат №1

Все диагонали, как правильных фигур, как

вписанных, так и описанных, квадратов и

прямоугольников, так и не правильных геометрических

фигур, как трапеций, вписанных и описанных,

пересекаются в точках, принадлежащих одной прямой –

Абсолюту.

Опуская всякие условия, можно сказать так: все

точки пересечения диагоналей принадлежат одной прямой.

Посмотрите на чертеж №6.

Постулат №2

Шесть точек, расположенных симметрично на двух

параллельных прямых, образуют два квадрата, вписанные

в прямоугольник, то их диагонали, всех трех фигур,

пересекаются в трех точках, принадлежащих одной прямой

35

НИС К-10

36

– Абсолюту, и расположенному симметрично относительно

двух сторон.

Постулат №3

Шесть точек, расположенных симметрично на двух

не параллельных прямых, образуют две трапеции,

вписанные в трапецию, то их диагонали, всех трех фигур,

пересекаются в трех точках, принадлежащих одной прямой

– Абсолюту.

Постулат №4

Шесть точек расположены произвольно и образуют

выпуклый шестиугольник, то они образуют три вписанные

трапеции, то и тогда диагонали всех фигур, пересекаются в

трех точках, принадлежащих одной прямой – Абсолюту.

При этом:

– геометрические фигуры образуют три Абсолюта.

– На продолжении Абсолюта строится родственный

шестиугольник, как соответствие.

Постулат №5

Шесть точек расположены произвольно и образуют

одно вогнутый шестиугольник, они образуют три

вписанные трапеции, но в этом случае, диагонали

36

НИС К-10

37

пересекаются в трех точках не принадлежащих одной

прямой. Прямая с излом в сторону точки вогнутости.

Чертеж № 11

Используем постулат №3. Строим трапецию или

любой четырехугольник, любой конфигурации, с верхним

и нижним основанием А–С и А1–С1. Для нахождения

Абсолюта, то есть, трех точек проективной прямой, точек

пересечения шести двойных полюсов, произвольно ставим

точки В и В1 в любом мест на верхнем и нижнем

основании. Лучше, для наглядности чертежа, точки

поставить ближе к середине или широкого раструба

трапеции.

А теперь строим двойные полюса. Применим

формулу построения, чертеж №7. Каждую собственную

точку, как соответствие, соединяем двойными полюсами, с

двумя не собственными точками, полюсами, как

соответствиями. И находим проективные точки

пересечения Н К М проективной прямой – Абсолюта Р.

И мы получаем то, что надо, то есть проективную

прямую Р – Абсолют, который проходит через три

проективные точки НВМ. Он является соответствием двух

соответствий. Масло масляное. Это не смешно. Заметим,

что данное построение соответствий устанавливает новый

проективный постулат.

Мы хотели бы обратить внимание на простые

построения соответствий в трапеции. Разложим, что

называется по полочкам проективные соответствия

Формулы построения чертежи №7 и №8 Такая наглядность

не требует словесного описания, за исключением

напоминания, что мы на две прямые, произвольно

лежащие, накладываем последовательно двойные полюса.

37

НИС К-10

38

Точки полюса В принадлежит прямой а. В тоже время,

полюсные прямые, отсекаются прямой в. И образуют

соответственно тоски А1 и С1, итд.

Чертеж №12

Используем постулат №2. Два квадрата вписываем

в прямоугольник. Строим диагонали в квадратах и

прямоугольнике. При этом получаем двойные полюса, как

и всегда из каждой точки исходят две прямые. Но в данном

случае, верхний полюс В опускаем ниже, скажем, на

четверть стороны квадрата, а нижний В1 – поднимаем. И

опять находим точки пересечения полюсов НКМ, и

проводим Абсолют. Мы получили рюмочную фигуру.

Чертеж №13

Теперь рассмотрим второй вариант. Опускаем

полюс В и поднимаем полюс В1 до центра и совмещаем

точки В и В1 в точке К. И видим, что четыре диагонали

двух квадратов и две диагонали прямоугольника, как

двойные полюса совместились и образовали

38

НИС К-10

39

геометрическую фигуру – песочные часы, с единственной

точкой пересечения К. В точке К находятся две полюсные

точки В и В1, а также проективные точки горизонта Н и М.

Таково свойство соответствий.

Есть еще интересный вариант. Сломим

прямоугольник по стороне соединения квадратов В и В1,

поднимая точки полюсов вверх. И построим точки

Абсолюта НКМ. Они не будут принадлежать одной

прямой. В этом случае прямая будет иметь точку перелома

К. При этом, если два соответствия изогнуты в одну

сторону, то Абсолют изогнут в противоположную сторону.

Информация для размышления. Не исключено, что

если пространство искривлено в одну сторону, то его

горизонт, может иметь место, искривления в другую

сторону. И вот еще для разминки соображения ума. В

физической формуле, нашим разумом оматеризованной,

пройденный путь равен скорости движения, умноженной

на время, затраченное на прохождение пути. Меня уверяли,

что длина пути – это вещественная материя. А мне

думается длина пути – это временная величина, текущей

материи. Время материально. Время – это вид материи, это

состояние материи. Так ли это? Или это досужий вымысел?

Если человек свалился с луны, то он это может утверждать,

поскольку он не зомби.

39

НИС К-10

40

Чертеж №14

У нас есть еще вариант. Если на чертеже №7,

полюса В и В1, соответственно поднимем, при этом, полюс

В1 до совпадения на пересечении горизонталей

прямоугольника, то получим геометрическую фигуру –

пятиугольную звезду, с изломом Абсолюта в точке К.

Многоугольники прямоугольники

Итак, нам заданы вписанные фигуры:

прямоугольники и трапеции. Нам необходимо с помощью

заданных фигур построить прямую – Абсолют. Для

построения Абсолюта надо соблюдать определенные

условия.

При рассмотрении квадратов необходимо соблюдать

соответствия параллелизма диагоналей и соответствие

прямых углов, как вписанных фигур, так и выносных. Для

прямоугольников достаточно соответствия сторон.

40

НИС К-10

41

Для нахождения Абсолюта, на чертеже трапеций,

необходимо, чтобы соблюдалось условие, когда из шести

полюсных точек, по три полюсных точки принадлежали

двум прямых, лежащим в одной плоскости.

Решения этих задач мы уже рассмотрели.

41

НИС К-10

42

Чертеж № 15

Рассмотрим


свойства


двух


подобных

прямоугольных треугольников. Но прежде, чем выяснять

их соответствия, начнем с самого главного и простого,

составляющего основу проективной геометрии в этом

плане, постулата НИС №1. Напомним краткое написание

постулата.

Все точки пересечения диагоналей принадлежат

одной прямой – Абсолюту. Абсолют обязательно содержит

три точки.

Вся трудность нахождения Абсолюта состоит в

нахождении диагоналей и их пересечений, на заданных

геометрических фигурах. Надо, прежде всего, обратить

внимание на обозначение сторон обоих треугольников.

Углы верхнего треугольника обозначаем А–С–В1,

нижнего соответственно А1–В–С1. Теперь находим

пересечение сторон треугольника, которые соответствуют

пересечениям диагоналей. Нам известно из чертежа №6,

что диагональ А–В1 пересекает диагональ А1–В. Для

построения продлим А–В1 до пересечения с А1–В.

Находим точку Н. Диагональ В–С1 продолжим до

пересечения с В1–С. Находим точку М. Соединяем эти

точки прямой и полагаем, что это Абсолют. Но чтобы

подтвердить это надо найти точку К. Для этого строим

диагонали описанной геометрической фигуры. В

соответствии чертежом №6 проводим прямые А–С1 и А1–

С. Находим точку пересечения К. Все три точки

принадлежат одной прямой, который и есть искомый

Абсолют

42

НИС К-10

43

Чертеж №16

Изменим условия задачи. Зададим два прямых угла,

соответственно с параллельными прямыми, как два

двойных полюса. Заметим их свойства. Это две прямые с

прямым углом есть два перпендикуляра с точками В и В1.

Но это не все. А самое главное, с точки зрения ПГ, что

каждые две прямые, при прямом угле, катеты, обладает

свойствами диагоналей, являясь полу диагоналями.

Смотрим на чертеж № 6 .В треугольнике АНА1 стороны

треугольника катеты и они же полу диагонали. И их точки

пересечения диагоналей соответственно Н и М. По

отношению друг к другу, прямые углы, обладают

свойствами подобия и свойствами соответствия.

Заметим, что на чертеже №6 прямоугольные

треугольники А1, В, С1 и А1, Н, С1 подобны и даже углы у

них равные. Исходя их это рассудим так.

43

НИС К-10

44

Полюсные прямые пока не ограничены,

собственные тоски и проективная прямая не заданы. В

соответствии с чертежом №6. находим, что углы

соответствуют точкам пересечения диагоналей. Поэтому

их обозначаем Н и М, и в тоже время, как в подобном

полюсе, они есть точки В1 и В. А поскольку точки Н и М

принадлежат Абсолюту, то проводим через них прямую Р.

Для нахождения точки К, проводим диагонали А–С1

и А1–С. Но их на чертеже нет, но их надо найти. Для это

полюсные прямые, как бесконечные, ограничиваем

параллельными прямыми а и в. В результате получаем

подобные треугольники. Теперь обозначаем их в

соответствии с чертежом №6. На пересечении диагоналей

находится искомая точка К. Вот как просто найти Абсолют,

если за треугольниками признать право соответствия.

44

НИС К-10

45

Чертеж №17

Итак, у нас заданы два соответствия, две ГФ в виде

подобных прямоугольников. Они расположены

рационально относительно друг друга для удобства

дальнейших построений. Замечаем, что катеты,

исполняющие роль полу диагоналей, должны быть, в

прямоугольных треугольниках, параллельными. И

гипотенузы, исполняющие роль сторон квадратов, так же

должны быть параллельными. Обозначим углы одного

треугольника А, С, В1 и второго – А1, В, С1. Обращаем

внимание, что такое обозначение не случайное, оно будет

соответствовать чертежу №6. Вот в этом весь секрет,

нахождения Абсолюта, трех точек пересечения НКМ.

Напомним формулу:

На одной проективной прямой располагаются три

проективные точки только тогда, и только тогда, когда

пересекаются три пары диагоналей двух квадратов,

вписанных в прямоугольник. Свойство проективного

соответствия остается однозначно в любом случае.

Напомним


конфигурации,


некоторых

четырехугольников. Правильные – квадрат, прямоугольник,

трапеция, ромб; и бесконечное количество неправильных.

Они все, не зависимо от конфигурации, обладают

однозначными проективными свойствами. Такими, как

растяжения, сжатия, соответствия, отображения,

полюсности, Абсолютности, сохранности пересечения

точек, параллельности, симметрии. Вот сколько мы

наворочали, изобрели проективных понятий. Чтобы со

всеми разобраться, надо им посвятить всю свою жизнь. Но

это еще не все. Во второй части ПГ мы укажем еще

важнейшие свойства проективности.

45

НИС К-10

46

Итак, на чертеже №17, по заданным двум

прямоугольникам треугольникам, приступаем к

нахождению проективных точек НКМ, принадлежащих

одной проективной прямой – Абсолюту. Для этого, не

мудрствуя лукаво, как сделано во многих источниках по

геометрии, на чертеже двух треугольников находим

диагонали, совпадающие со сторонами треугольника. То

есть, опять же, находим соответствия сторон

треугольников и диагоналей, не существующих на чертеже,

вписанных квадратов в прямоугольник. Вот до этого, пока

не мог догадаться ни один геометр мира. Вот в этом смысл

проективной геометрии, образно говоря, чего нет на

чертеже, но то, все-таки, есть.

Остановимся специально на нахождении

диагоналей на сторонах

Таким образом, руководствуясь чертежом №6, на

чертеже №17, мы находим, что диагональ квадрата А В1

совпадает со стороной заданного треугольника А–В1. А

вторая диагональ соответственно совпадает со стороной

треугольника А1–В. Продлим сторону треугольника А–В1.

На их пересечении находим точку Н.

Диагональ второго квадрата В1 С совпадает со

стороной треугольника В1–С. Вторая диагональ В С1

совпадает со стороной треугольника В–С1. Продлим

сторону треугольника В–С1. На их пересечении находим

точку М.

Теперь наносим на чертеж диагонали

прямоугольника А–С1 и А1–С. На их пересечении находим

точку К. И последнее, через найденные три точки НКМ

проводим искомую прямую – Абсолют Р.

Запишем пересечение диагоналей: АВ1 /\ А1В = Н,

АС1 /\ АС = К СВ1 /\ С1В = М. Здесь знак /\ означает

пересечение. И Абсолют проходит через точки: Р < НКМ.

46

НИС К-10

47

Задача решена, по двум заданным соответствиям

построено третье соответствие.

Исходные соответствия заданным

Задача №18

о заданным двум проективным треугольникам

построить исходные два четырехугольника, вписанные в

другой четырехугольник. Мы эту задачу решим на основе

предыдущей задачи. Мы, использовали при нахождении

трех точек Абсолюта, по двум треугольникам, свойства

диагоналей двух квадратов, вписанных в прямоугольник.


47

НИС К-10

48

А теперь, чтобы решить поставленную задачу, мы

построим стороны, искомых трех четырехугольников, на

диагоналях, построенных на треугольниках. Очень

интересно увидеть какими они были фигурами по виду, и в

какую геометрическую фигуру вписывались? При условии

заданных двух треугольников.

Сразу заметим, чтобы решить эту последнюю

задачу на эту тему геометрии, было не просто. Для этого

мне понадобилась вся жизнь, 75 лет. Я, изменил

местоимение мы, считаю, что решить эту задачу, все равно,

что увидеть неосвещенную сторону луну.

Смотрим на чертеж №6 и с него накладываем

диагонали на чертеж №18.

Сначала строим соответствия сторон левого

вписанного квадрата А–В, В–В1, В1–А1, А–А1. Получаем

четырехугольник с тремя острыми углами и одним тупым

внутренним углом В1.Чертеж № 20 и 22.

48

НИС К-10

49

Теперь строим соответствия сторон правого

вписанного квадрата В–С, С–С1,С1–В1, В1–В. Получаем

четырехугольник, также, с тремя острыми углами и одним

тупым внутренним углом В. Чертеж № 20 и 22. И еще, пока

49

НИС К-10

50

мы обнаружили некоторое свойство, что оба

четырехугольника имеют по две равные стороны. И пока

мы не знаем почему? Это примыкающие стороны

квадратов.

Заметим, что мы исходили из свойств квадратов, и

заданные треугольники породили соответствия с четырьмя

углами, все равно, что дети помнят своих родителей,

рождаются разных полов.

Чертеж №19, 20, 21

Теперь, как мы уже указывали, интересно узнать,

какой фигурой будет, описывающая фигура два квадрата.

Она, собственно, уже у нас нанесена на чертеж

построением двух четырехугольников А–В–С–С1–В1–А1–

А. Для большей наглядности мы вынесли ее в отдельный

чертеж №19 и 20 Вот что породили свойства диагоналей

прямоугольника.


Можно еще сделать замечание, что каждый

треугольники соответствуют четырехугольнику. Это все

равно, что 3 = 4. Геометрическое доказательство этого на

чертеже 18.

Интересен и тот факт, по треугольникам, которые

имеют сумму внутренних углов по 180 градусов, через

соответствие Абсолют, мы построили четырехугольники,

которые имеют сумму внутренних углов по 360 градусов.

Тоесть, получается, что 180 градусов в проективной

геометрии соответствуют 360 градусам. Величины чисел,

для проективной геометрии, не имеют ни какого значения.

Здесь речь идет не о равенстве, а о соответствии.

Сделаем замечание, что для проективной геометрии

арифметические цифры: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 – есть подобные

соответствия. Условно скажем: не равные, но одинаковые

цифры. И в проективной геометрии, скажем образно, они

равны друг другу. Что в лоб, что по лбу.

50

НИС К-10

51

И еще, два треугольника в сумме с шести углами,

имеют соответствие с двумя внутренними и четырьмя

наружными углами. Это, конечно частный случай,

зависящий от исходных заданных начертаний.

Можно было бы на этом закончить наше

исследование данной темы. Но мы наглядно заметили еще

одно свойство.

Чертеж №21

В основе всех наших построений были

использованы свойства вписанных двух квадратов в

прямоугольник. Поэтому мы и стороны прямоугольника

нанесли на чертеж №18 То есть, соединили прямыми

стороны А–С–С1–А1–А. И мы получили новую фигуру –

51

НИС К-10

52

ромб, близкий к параллелограмму, новое соответствие.

Прямоугольник соответствует ромбу. Но он соответствует и

двум заданным треугольникам и двум четырехугольникам.

При этом исходная фигура получила приращение 2х. Мы

исследованием этого вопроса пока не занимаемся.

В проективной геометрии все геометрические

фигуры есть соответствия.

Всем понятно, но никто не замечает, что каждая

младшая геометрическая фигура является составной

частью более сложной фигуры. Так, точка является

составной частью прямой. И это не надо доказывать.

Потому что принята система, что все фигуры состоят из

точек, как изображение разбивается на элементарные

частицы, называемые пикселами. И это понятно.

Но нас интересует другой вопрос, о котором мы

ничего не знали и не понимали. Выше, при построении

многоугольника, с шести сторонами, при помощи двух

треугольников, мы показали, что стороны треугольников, в

частности катеты, являются диагоналями квадратов,

вписанных в прямоугольник. А гипотенуза треугольника

является стороной квадрата.

Мы всегда считали, что катеты треугольника

являются составной частью только треугольника, и не

более того. А из проективной геометрии, как показано

выше, явствует, что катеты любого треугольника есть

диагонали многоугольника, тоесть квадрата,

прямоугольника или трапеции, тоесть геометрической

фигуры выше классом, чем треугольник.

И с помощью треугольников, как сторон

диагоналей, можно построить соответствующий

многоугольник, прямоугольник с вписанными квадратами,

точнее, шестиугольник, в частном случае, с вписанными с

двумя четырех сторонниками. Еще много можно сделать

выводов, но пока мы на этом ограничимся.

52

НИС К-10

53

Чертеж № 23

Постулат: три прямые принадлежат одной точке.

Напомним, до этого мы рассматривали, что три точки

принадлежат одной прямой – Абсолюту. Или наоборот,

одна прямая – Абсолют, принадлежит трем точкам.

Если из противоположных вершин двух квадратов

провести две прямые крест накрест, и прямую через их

центры, то все три прямые пресекутся в одной точке К,

принадлежащей Абсолюту Р. Других объяснений не нужно.

Это доказывает чертеж № 23.

53

НИС К-10

54

Чертеж № 23 А

Упростим задачу до предела. Заданы два отрезка

параллельных прямых А–А1 и С–С1. Необходимо найти

точку К, принадлежащую Абсолюту? Чтобы найти точку К,

для этого у заданных двух параллельных отрезков,

достаточно соединить отрезками прямых, противолежащие

точки прямых и середины отрезков. И ничего в этом

постулате таинственного нет. Проективность основывается

все на том же Чертеже №6, основой которого является

звезда НИС. Посмотрите на чертеж, мы убрали из

прямоугольника общую сторону двух вписанных квадрата

В–В1. В прямоугольнике оставили диагонали

прямоугольника и прямую Абсолюта Р. На пересечении

трех прямых находится точка К.

54

НИС К-10

55

Чертеж № 24

Если к двум окружностям провести две касательные

прямые, и через центры окружностей провести прямую, то

все три прямые пресекутся в одной точке К,

принадлежащей Абсолюту Р.

Заметим, что главное условие при нахождении

точки К, это соответствие ГФ и их заданных сторон.

Чертеж № 25.

55

НИС К-10

56

Проективный параллелизм

До сих пор мы рассматривали и утверждали, что

при нахождении Абсолюта Р необходимо, чтобы полюса

шестиугольной звезды НИС, чертежи №7и 8 А–В–С и А1–

В1–С1, принадлежали двум прямым а и в, чертеж №11 или

сторонам прямоугольника, чертеж № 6.

Теперь мы утверждаем, что это условие не

обязательно. Это в нашей проективной геометрии всего

лишь частный случай. Мы доказали построениями, что

проективная геометрия строится, основывается,

доказывается двумя квадратами вписанными в

прямоугольник.

Еще раз подчеркиваем, что проективная геометрия

лежит в основе, достаточном, для доказательства, двух

квадратов, вписанных в прямоугольник.

56

НИС К-10

57

Теперь еще раз подтвердим это доказательство, при

условии, что не обязательно, чтобы полюса звезды НИС

принадлежали двум прямым.

Чертеж № 26

Заметим, что если мы посмотрим на чертеж, то

сразу же увидим, что на чертеже строго выполнено, одно

из первостепенных свойств проективной геометрии, это

свойство симметрии. При этом, угловые точки А, В, С

звезды НИС не принадлежат одной прямой, как и их

симметричные точки А1, В1, С1. Но полюсные прямые,

звезды, пересекаются в трех точках, принадлежащих

57

НИС К-10

58

Абсолюту Р. И даже наклон фигуры, не меняет положение

симметрии. Чертеж № 27.

Чертеж № 28

Теперь мы используем параллелизм двух полюсных

прямых линий. На чертеже видно, что две параллельные

прямые а и в, наложенные на параллельные прямые а1 и

в1, друг на друга, пересекаются в точках В и В1, А также в

точка Н и М, которые принадлежат Абсолюту Р.

58

НИС К-10

59

Для доказательства этого необходимо найти точку

К. Проводим диагонали А–С1 и А1– С и на пересечении

получаем полюсную точку Абсолюта К. Построение не

показано.

Чертеж №29

Зададим две пары пересекающихся параллельных

прямых. И проведем через точки В и В1 две параллельные

прямые. В результате мы получим соответственно точки

пересечения, полюсные точки А,С и А1,С1. Соединяем

найденные тоски диагоналями и на их пересечении

находим точку К., принадлежащую Абсолюту Р.

59

НИС К-10

60

Чертеж №30

Решим такую же самую задачу по нахождению

Абсолюта Р, применяя не три пары параллельных прямых,

а четыре. Наносим, на заданные две пары, накрест

лежащие параллельные прямые, из точек В и В1 две пары

параллельных прямых до пересечения соответствующих

параллельных прямых: В–А и В1–С1 и вторую пару В–С и

В1–А1. Теперь проводим соответствующие диагонали и в

пересечении находим точку К.

60

НИС К-10

61

Чертеж №31

Для наглядности на чертеже мы оставили только

четыре пары параллельных прямых. И видим, что все

четыре пары параллельных прямых, исходят из двух

полюсов В и В1, и определяют все шесть точек звезды

НИС, и две точки Абсолюта Р. за исключением точки К.

Чертеж № 32

Теперь интересно посмотреть, что будет

представлять по виду, из себя, исходный чертеж, который

определяет Абсолют Р. Для этого, используя чертеж № 6,

наносим соответственно стороны прямоугольника. В

результате мы получаем также шестиугольную звезду

НИС, вписанную в шестиугольник.

61

НИС К-10

62

Чертеж № 33

Если проанализировать чертеж №32, то мы увидим,

что тут есть интересный вариант. Многоугольник на

чертеже №32, скажем так, что он не доукомплектован

внутри.

62

НИС К-10

63

Чертеж 33 А

Если внутри шестиугольника, на чертеже №33

проведем все параллели, тогда выяснится, что

шестиугольник имеет три Абсолюта Р. Поэтому, это дает

нам право, высказать предположение, хотите утверждение,

что шестиугольник, шести сторонник, делает всю

проективную геометрию проективного мира. Хотелось бы

верить в несбыточную мечту, что три Абсолюта Р,

определяют некое многомерное пространство во

Вселенной в точке К. Выдумывать построение

многомерного пространства, кроме нашего трехмерного, с

помощью каких-то уловок и ухищрений не надо.

Существующая Вселенная проективна и поддается

63

НИС К-10

64

геометрическому построению. Этот факт подтверждает

статистическая, считываемая динамичность Вселенной.

Это предмет для размышления. Его можно не читать, но и

оспаривать не надо.

Чертеж № 34 и 35

Эти чертежи даны для наглядности и раздумья, как

сложен мир геометрии и как он прост.


На этом нам хотелось бы закончить исследовать

первую часть проективной геометрии. Я не мог придумать

название первой части и пока не могу придумать название

второй части. Но вырисовывается приметно такая картина,

в первой части была исследовала проективность с

собственными точками. Фигуры как бы содержали свои

64

НИС К-10

65

внутренние соответствия. А во второй части, которую мы

рассмотрим ниже, при построении соответствия выносятся

за пределы рассматриваемых фигур. Но посмотрим. Дело и

время покажет соответствие.

Как мы видим, что напрасны были наши пожелания,

чтобы рушились башни науки. Все стоит на месте. Это

была всего лишь реклама. Пора идти дальше. И самое все

интересное, все впереди.

Чертеж № 36 и №37

И последнее, что мы хотим извлечь из чертежа № 6.

На чертеже № 36 сделана вырезка. Мы здесь видим

полную гармоническую фигуру, с ранее не упоминавшей

точкой К. Это гармоничная точка. И в каком бы положении

не находились полюса В и В!, в симметричном или нет.

Точка пересечения К всегда будет являться третьей точкой

прямой Абсолюта Р. Но для ее нахождения надо будет

выполнить одно условие. Точка К находится на

пересечении биссектрис заданных двух полюсов, а

Абсолют обязательно принадлежит точке М, которая

65

НИС К-10

66

находится между полюсами точек А и В. Это очень

интересный и значительный фактор проективной

геометрии.

Автор просит извинения, за допущенные оговорки,

некоторые неточности и вольные определения. Автор, не

пользовался никакими литературными источниками

информации. Поэтому и не делает ссылок. Их нет. Все, что

тут написано и начерчено, все это придумал сам автор. И

без погрешностей, вероятно, не обошлось. Конечно, автор

воспользовался знаниями, накопленными человеческой

мыслью в области геометрии, на то время в которое он

писал. И вероятно, только обобщил и записал таков мир,

каким его увидел. Но это еще не конец. Самое интересное

– все еще впереди.

В данной работе по проективной геометрии, с

постановкой последней точки, и опубликования работы в

печати, я – Скатулин Николай Иванович, без лишней

скромности, как автор, объявляю себя Кандидатом

математических наук по геометрии, Кандидат геометрии.

Соответствующим органам правительства, Республики

Беларусь прошу выдать удостоверение.

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АБСОЛЮТ

Часть вторая

Геометрия – это мир гармонии и хаоса чертежа, он

существует независимо от нашего разума, но разум наш

может сотворить все, что пожелает, в зависимости оттого,

что и как наше воображение увидит и начертит. И еще

зависит оттого, сумеем ли мы увидеть закономерности

гармонии и построить прекрасный мир геометрии.

В первой части нашей проективной Геометрии мы

раскрыли образ гармонии геометрического мира с

66

НИС К-10

67

помощью звезды НИС. Мы находили проективный

Абсолют с помощью трех точек пересечения: диагоналей,

если они находятся в двух квадратах вписанных в

прямоугольник, и во втором случае, если точки

пересечения находятся в звезде НИС, то точки Абсолюта

определяются пересечением полюсов. Нам думается, что в

нахождении точек Абсолюта, и вообще, построения всей

Геометрии, определяющими являются законы

гармонического мира, и, прежде всего, законы Симметрии.

Несмотря, на хаотичность, видимого, не живого,

окружающего нас мира, как земная материя, на самом деле,

мир природы упорядочен законами существования. И его

носителем является Симметрия. Нарушение Симметрии

ведет к распаду и гибели живой природы, или к взрыву

исходной электронной материи и энергии. Выскажем

абсурдную мысль для размышления и юмора, что является

носителем взрыва, кроме химической и электронной

энергии: воздух или время? или то и другое, вместе взятое?

На солнце нет ни воздуха, ни времени. Где есть остывшая

материя, следовательно, там есть энергия и пространство, а

значит, там есть воздух и время. Мы отвлеклись

рассуждениями для забавы. Взрыв – это тоже геометрия,

состояние энергии в пространстве. Подумали?

Повеселились? А теперь за дело.

– Вставайте, граф! Вас ждут великие дела!

Обращение слуги к Сен-Симону,

французскому философу.

ЛИНЕЙНЫЙ АППАРАТ АБСОЛЮТА

67

НИС К-10

68

Чертеж № 2-1

На чертеже изображен простейший аппарат

нахождения проективного Абсолюта. Аппарат состоит из

прямоугольной фигуры, квадрата или прямоугольника. На

одной стороне произвольно поставлены тоски А и В. На

двух других сторонах отмечены точки 1,2,3. и проведены

параллели 1–1, 2–2, 3–3. На эти параллели опираются

полюса, которые проведены из точек 1,2,3 через точки А и

В. Полюса встречаются в точках пересечения 1,2,3,

которые в свою очередь принадлежат Абсолюту Р. В этом

случае построен гармонический чертеж, при нахождении

Абсолюта, с использованием проективных свойств

Симметрии. Эта дама заслуживает того, чтобы ее имя

писать с большой буквы.

68

НИС К-10

69

Чертеж № 2-2

На чертеже № 2-2 мы изменили условия задачи.

Прямые а и в, задали произвольно, а также точки А и В

задали также произвольно на ломанной прямой, но с

условием, что они являются перпендикулярами к прямым а

и в. Итак, отметим, что для построения Абсолюта,

необходимо выполнить два условия. Первое, чтобы

опорные точки 1,2,3 полюсов, располагались на

параллельных прямых 1–1, 2–2, 3–3. И второе условие,

точки А и В были на перпендикулярах 4–А и 4–В. При

этих условиях полюса пересекаются в симметричных

точках 1–2–3, и принадлежат Абсолюту Р.

Весь секрет состоит в том, чтобы найти

закономерные условия, при которых, в несимметричной бы

казалось геометрической фигуре, сохраняется симметрия,

гармония мира проективной геометрии. Вот это и является

удивительным свойством, сохранять гармонию симметрии,

в гармоничном мире, и у не симметричных геометрических

фигур.

Гармонический проективный Абсолют могут

задавать и многие другие геометрические аппараты. Мы

показали простейшие аппараты, которые определяют точки

Абсолюта, но не дают математических пропорциональных

69

НИС К-10

70

отрезков Абсолюта. А хотелось бы найти такую

возможность. И она существует. Посмотрим на эту

геометрическую диковину.

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АППАРАТ

Четыре


Гармонические


точки,


три

пропорциональные отрезка.

Чертеж № 2-3 А

Геометрический Аппарат, для нахождения

гармонических точек и пропорциональных отрезков,

изображен на чертеже Ч-2-3А. Геометрический Аппарат,

состоит из двух параллельных прямых, Абсолюта,

перпендикулярной прямой, по отношению к двум

заданным параллельным прямым, обозначениями буквами

и цифрами. Обращаем особое внимание, что на чертеже

заданы три гармонические точки А,Н,В. Точке Н мы

присваиваем наименование – точка делитель. Необходимо

определить местонахождение четвертой гармонической

70

НИС К-10

71

точки М? То есть, проективной точки М?. Заметим, что мы

употребляем словосочетание, не гармоничные точки, что

относится, скорее, к ритмам музыки, а гармонический, что

более уместно по отношению к геометрии.

Чертеж № 2-4

Итак, находим гармоническую точку М. Для этого

проводим линию связи из точки 1, через заданную точку Н,

до встречи с аппаратной прямой, и затем проводим линию

связи через другую точку 1 до встречи с Абсолютом в

точке М. Еще раз повторим построения подобным же

образом. Проводим вторую линию связи из точки 2, через

заданную точку Н, до встречи с аппаратной прямой. И

дальше проведем линию связи через точку 2, до встречи

пересечения с Абсолютом в точке М. Так мы можем

проводить сколько угодно линий связи, и все они, будут

встречаться в точке М. Добавим еще к сказанному, что они

будут встречаться в проективной гармонической точке М.

71

НИС К-10

72

Таким образом, мы получили четвертую точку.

Теперь мы имеем три отрезка на Абсолюте – а, в, с. Эти

отрезки, для наглядности, мы вынесли вниз чертежа.

Обобщим выше сказанное и сформулируем в виде

постулата, как свойство не требующее доказательства.

Постулат

Если задан отрезок на прямой Абсолюта, точками А

и В, то его можно поделить точкой Н на два отрезка, а и в,

и затем с помощью геометрического аппарата, и его линий

связи, можно построить четвертую точку М. В результате

будет получен третий отрезок с, по двум заданным

отрезкам. Отрезок с, будет находиться в гармонической

пропорции по отношению к двум заданным отрезкам а и в.

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АБСОЛЮТ

Алгебраическое и математическое выражение

ПОКАЗАТЕЛИ АБСОЛЮТА

Смотрим на чертеж № 2-4

Задан отрезок точками А и В, на прямой Абсолюта.

Он разделен делительной точкой Н. Теперь он состоит из

двух отрезков а и в, вместе они называются основанием

Абсолюта. Задача : найти третий отрезок с, по двум

заданным а и в. С помощью проективного аппарата мы его

нашли, в результате построения проективной

гармонической четвертой точки М. Можно его с помощью

метрических величин замерять и пускать в дело. Итак

дадим необходимые определения.

1. Основание Абсолюта.

О = а + в

72

НИС К-10

73

2 Все три отрезка Абсолюта, после нахождения

отрезка с, между точками А и М, называются базой

Абсолюта.

Б = а + в + с


Теперь поработаем с этими тремя отрезками.

Вместе взятые, все три полученные отрезка, это и есть

Гармонический Абсолют – ГА. Так вот, ГА, в свою очередь,

характеризуется показателями, которые и определяют всю

гармоничность Абсолюта.

3. Показатель основания – это отношение отрезка а,

к отрезку в. Заданное основание мы разделили

делительной точкой Н на два произвольных отрезка а и в.

По = а : в

(1

4. Показатель базы – это отношение длины всего

Абсолюта а,в,с, к искомому отрезку с.

Пб = /а+в+с/ : с Пб = Б : с (2

5. Показатель перспективы с.

с = /а+в/ : /а : в/ – 1 с = О : По – 1 (3

6. Показатель Абсолюта – это отношение показателя

основания к показателю базы.

Па = /а : в/ : /а+в+с/

Па = По : Пб (4

7. Показатели равенства отношений отрезков.

Пр1 = /с – в/ : в = /с + в/ : а (5

Пр2 = /а – в/ : в = /а + в/ : с (6

Пр3 = а : в = /а + в + с/ : с (7

Все эти семь формул мы изобрели и упорядочили в

результате построения проективного гармонического

аппарата Абсолюта Р. И поработали с его

73

НИС К-10

74

пропорциональными отрезками. И картина прояснилась до

азбучной истины.

Интересен тот факт, что, результате геометрических

построений, с помощью гармонического аппарата, мы

обнаружили проективные свойства Абсолюта. По двум

отрезкам мы можем построить третий отрезок. И на основе

этого составили алгебраические формулы. Из последней

формулы (5, видим, что по двум заданным метрическим

отрезкам, мы всегда можем найти длину третьего отрезка.

Приведем в цифрах простой пример. Метрические

показания численно в единицах сняты с гармонического

аппарата Абсолюта. Так, а = 6, в = 2, тогда основание О = 6

+ 2 = 8,

1. показатель основания будет По = 6 : 2 = 3.

5. Этих исходных достаточно, чтобы определить

длину третьего отрезка, который мы назвали показателем

перспективы с.

с = О : / Ко –1/ = 8 : /3 – 1/ = 4.

2. Показатель базы Пб = 12 : 4 = 3, при базе Б =

6+2+4.

3. Показатель Абсолюта Па = 3 : 3 = 1.

4. Показатель единицы Пе = /4 – 2/ : 2 = 1 = /4 + 2/ :

6

74

НИС К-10

75

Чертеж№ 2-5

Обращаем внимание, что величина проективного,

перспективного отрезка с, с точкой М, зависит от

местоположения точки Н на основании, между точек А и

В. Если, к примеру, точка Н делит заданный отрезок, с

точками А и В, основание, пополам, а = в, то проективная

точка М находится в бесконечности, она не собственная.

Подчеркиваем, что точка делитель находится в этом

случае по центру основания. И поэтому, показатель

основания численно всегда равен единице, каким бы

большим числом не было основание.

Показатель основания По = а : в. В нашем, выше

приведенном примере, основание числено равно О = 8

единицам, то По = 4 : 4 = 1. И если делитель основания,

точка Н, переходит на левую сторону от центра, то

показатель основания становится дробным числом, а затем

и отрицательным. И последнее, если делитель, точка Н

совпадает с точками А или В, по Абсолют равен нулю.

75

НИС К-10

76

Таким образом, если заданы два отрезка, а и в, на

прямой точками А–В, то всегда можно найти третий

отрезок с, между точек В–М, как продолжение заданного

отрезка А–В. Это вытекает из проективной геометрии

гармонических точек. Для этого надо отрезок разделить

делителем, точкой Н. И провести необходимые построения.

В нашу задачу входило показать и доказать, как это будет

выглядеть на чертеже, в алгебраических выражениях и

математических числах. Но этими построениями, данным

аппаратом, не исчерпывается построение и нахождение

гармонических точек.

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АППАРАТ

двух окружностей


Чертеж № 2-6

76

НИС К-10

77

Для задания, как это мы делаем в проективной

геометрии, используем свойство растяжения и

передвижения. Возьмем предположительно две

окружности, наложенные одна на другую. И начнем

передвигать вторую окружность относительно первой.

Диаметр окружности станет уменьшаться и превратится в

хорду различной длины на всем протяжении радиуса. В

зависимости от задания остановим вторую окружность

там, где необходимо. В этом случае, хорда 1–1,

пересечения двух окружностей, является делителем

основания А–В, то есть диаметра окружности, с точкой

делителем Н.

В этом случае, точкой делителя не задаемся на

отрезке между А и В, как это мы делали на чертеже № 2-4.

При гармоническом аппарате окружностей, точку делитель

Н, строго и пропорционально, определяет хорда

пересечения двух окружностей.

77

НИС К-10

78

А точка пересечения Абсолюта Р, с дугой

окружности, обозначает искомую гармоническую точку М.

Таким образом мы построили гармонический Абсолют, с

отрезками: а – в – с. На чертеже отрезки вынесены ниже

окружностей.

Продолжим исследования и покажем один из

классических вариантов расположения окружностей на

абсолютной прямой, относительно друг друга. И тогда

прояснится многое, что казалось неизвестным и

таинственным.

Классический пример проективного гармонического

Абсолюта. Все исходные данные мы получили еще до

печати, произведя метрические замеры на чертеже.

Чертеж № 2-7

Расположение окружностей относительно друг

друга может быть различным по условиям задачи. На

данном чертеже мы расположили окружности в

классической гармонической форме. Дуги окружностей

касаются центров обоих окружностей. Таким образом,

каждая окружность разделена на четыре единицы. Две

единицы, в центре, накладываются друг на друга. В

результате мы получаем, что делитель отделяет одну часть

окружности.

78

НИС К-10

79

Итак, получаем, что а = 3 единицам, в = 1 единице, с

= 2 единицам. Абсолют равен 6 единицам. Теперь мы

может элементарно найти все показатели гармонического

Абсолюта, как это делали мы выше на примере. Но в

дополнение, мы можем решить задачу сложного

отношения единиц, которая порой бывает трудно

объяснима. Но, в связи с выше изложенным, это делается

наглядно просто. Мы это решаем в единицах, а можно

делать в любых метрических числах.

/ а : в / : / а + в + с / : с = 1

/ 3 : 1 / : / 3 + 1 + 2 / : 2 = 1

3 : / 6 : 2 / = 1

3 : 3 = 1

Не надо воспринимать, как на первый взгляд

кажется, эти подсчеты сделаны по-детски просто и наивно.

79

НИС К-10

80

Мы повторяем, что мы подсчеты сделали для наглядности

в единицах, под которыми могут скрываться

непредсказуемые метрические числа. Итак по порядку

проследим за гармоничностью Абсолюта.

1. Основание Абсолюта.

О = а + в = 3 + 1 = 4

2 Основание базы Абсолюта.

Б = а + в + с = 3 + 1 + 2 = 6

3. Показатель основания Абсолюта.

По = а : в = 3 : 1 = 3

4. Показатель базы Абсолюта.

Пб = /а+в+с/ : с = Б : с = 6 : 3 = 3

5. Показатель Абсолюта

Па = По : Пб = 3 : 3 = 1

6. Показатель перспективы.

с = /а + в/ : / По – 1/ = О : По – 1 = 4 : 2 = 2

7. Показатели равенства отношений отрезков.

Пр1 = /с – в/ : в = /с + в/ : а = /2 – 1/ : 1 = /2 + 1/ = 1

Пр2 = /а – в/ : в = /а +в / : с = / 3 –1/ : 1 = /3 + 1/ = 2

Пр3 = а : в = /а + в +с/ : с = 3 : 1 = 6 : 2 = 3

Вот откуда берутся разные величины отношений

отрезков. Они, как показано, могут быть численно равны

одной, двум и трем единицам. Мы обращаем особое

внимание на это обстоятельство. Под единицами могут

быть любые числа. Это наглядно показано на чертеже № 2-

7


И отметим, не боясь быть не скромными, что мы

геометрическими построениями разгадали тайну

гармонических четырех точек и их пропорциональных

отрезков. Показали гармонические точки и их отрезки

наглядно, и подсчитали, и нашли гармонический Абсолют,

когда он равен одной, двум и трем единицам. А также наша

80

НИС К-10

81

заслуга состоит в том, что мы в Гармонический Абсолют

ввели показатели Абсолюта. И сделали многое другое.

Ниши исследования ни в коей мере не отражают

весь объем проективной геометрии. Ее возможности

неисчерпаемы. У нас еще много сделано наработок за

пятьдесят лет по проективной геометрии в черновиках. И

мы намерены продолжить наши усилия в рассмотрении

интересных вопросов и находок. Сейчас наше внимание

привлекла окружность, как продолжение начатого дела.

Когда-то мы присваивали находкам значение теорем,

аксиом, постулатов. Сейчас мы будем указывать только

проективные свойства геометрических фигур.

ПРОЕКТИВНЫЕ СВОЙСТВА ОКРУЖНОСТИ

Чертеж № 2-8

Окружность – это гармоническая геометрическая

фигура, как аппарат проективной геометрии, содержит

очень много возможностей построения гармонического

Абсолюта. Мы уже использовали ее в предыдущей главе.

Намерены использовать окружность и дальше. Так, как

показано на чертеже, касательные окружности,

проведенные от параллельных хорд окружности,

пересекаются в точках 1, 2, 3, и принадлежат одной прямой

– Абсолюту Р. Хорды, как параллельные прямые,

81

НИС К-10

82

пересекаются за пределами чертежа, в бесконечности,

предположительно, в точке К. Обращаем особое

внимание, что это не просто игрушечное построение. А на

основе параллельных хорд окружности, у нас разработана

целая научная предпосылка. И это будет рассмотрено в

следующей главе.

Чертеж № 2-9

Мы вынесли точку К, из бесконечности, но

поместили ее за пределами окружности. И из нее, как из

центра проективности, пересекли несколькими прямыми

окружность. И из полученных хорд, провели касательные к

82

НИС К-10

83

окружности.


Соответствующие,


одноименные

касате6льные хорд, 1–1, 2–2, 3–3, пересеклись в точках,

принадлежащих одной прямой – Абсолюту Р

83

НИС К-10

84

Чертеж № 2-10

На данном чертеже, проективную точку К, мы

поместили непосредственно в окружность. И через точку К

в окружности провели симметрично хорды. И,

проведенные касательные к окружности в точках хорд,

пересеклись в точках 1–1, 2–2, 3–3, которые принадлежат

одной прямой – Абсолюту Р. Если касательные продлить

дальше, то они образуют точки пересечения второго

порядка, принадлежащие Абсолюту второго порядка.

84

НИС К-10

85

Чертеж № 2-11

На данном чертеже, проективную точку К мы

поместили в третьей четверти окружности, на

произвольном месте. И через точку К, провели хорды в

произвольном направлении. А к окружности, в точках хорд

1–1, 2–2, 3–3, соответственно провели касательные. И

касательные пересеклись в 1, 2, 3, которые принадлежат

одной прямой – Абсолюту Р.

85

НИС К-10

86

Мы можем наглядно проследить, что для

построения Абсолюта Р мы имеем аппарат состоящий из

инструмента окружности, точки К, хорд, и касательных.

Чертеж № 2-12

На данном чертеже проективную точку К мы

поместили на границу окружности и построили

касательные к хордам, расположенные симметрично

относительно друг друга. В этом случае Абсолют

принадлежит точке К, а также, все касательные с одной

стороны принадлежат точке К.

86

НИС К-10

87

Чертеж 2-13

Проективная точка К помещена в центр

окружности. В этом случае касательные, у нас к

симметрично расположенным хордам, уходят в

бесконечность и образуют два квадрата описанные около

окружности, что приводит к построению восьми угольной

звезды.

С проективной точки зрения, отметить, что вся

звезда состоит из восьми проективных полюсов, что

полюса опираются на касательные, то есть, на стороны

квадратов по четыре полюса, и что точечные полюса

принадлежат центру окружности. Для наглядности мы

вынесли восьмиугольную звезду в отдельный чертеж № 2-

14.

87

НИС К-10

88

Чертеж № 2-14

Проективная точка К находится в центре

окружности. Проективная фигура восьмиугольная звезда.

Она обладает всеми свойствами симметрии, а стало быть и

всеми проективными свойствами геометрии. У нее четыре

Абсолюта Р. Четыре пары параллельных прямых, которые

пересекаясь образуют полюса. Так, прямая А–В

параллельна В–С1. Они пересекаются с двумя

88

НИС К-10

89

параллельными В–А1 и С–В1. И следующие две пары

параллельных, С–Н параллельна М–А1 пересекается с М–

А и С1–Н.

ГАРМОНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОКРУЖНОСТИ

Мы только что показали проективные свойства

гармонических точек и их пропорциональных отрезков на

примере окружностей. Гармоничность подлежит

геометрическому построению и математическому решению

или анализу. Мы уже пользовались хордами в

окружностях. Теперь исследуем гармоничность самих

хорд.

Хорды – это прямые линии, стягивающие дуги

окружностей. Напомним, для развлечения, что прямая

линия – это равноудаленная в каком-нибудь направлении,

без изгибов. Или – это одно метрическое множество точек.

Все определения хороши. В обоих случаях гармонический

образ, прямая линия, ясный и понятный. Проще нет

ничего, чем прямая линия. В тоже время нет ничего

удивительнее и сложнее, чем прямая линия.

Прямой человек, – говорят люди. И под этим

подразумевают человека, с одной стороны, стремящегося к

цели, без колебаний и сомнений, с другой стороны,

делающего это без необходимой гибкости, односторонне.

Можно пошутить, что прямой не хватает гибкости, а

кривой недостает прямолинейности, но середины нет –

кривопрямой.

Однако, одна прямая в науке хорошо исследована.

Нас интересует проективное и метрическое свойство трех

прямых. Мы уже рассмотрели отношение отрезков друг к

другу. Вспомним, нам даны три гармонических отрезка, и

мы составили уравнение а : в = ( а + в + с ) : с. Но только

89

НИС К-10

90

этим уравнением все дело не исчерпывается. И наша

задача состоит в том, чтобы исследовать гармонические

возможности хорд, их зависимость друг от друга,

принципы связи. И вот оказалось, что длины хорд в

окружности, как отрезки, могут составлять равенство.

Поэтому и назвали его линейным уравнением.

Теорема трех длин

Существует средняя прямая м*, три длины которой

равны сумме трех длин: две из них м, больше средней, и

одна м**, меньше средней. Это будет выглядеть так с

нашими значками обозначения:

3м* = 2м + м**

Наша задача сейчас показать, откуда мы это взяли?

С потолка взять три таких линии и составить уравнение,

будет не правильно. Должна быть найдена и доказана

гармоничность этих прямых. Для решения этой задачи,

возьмем две окружности. Наложим их одна на другую, до

полного совпадения всех точек окружности и их

диаметров. Чертеж № 3-2. Обозначим диаметры, как

прямые п и м. Это фиксированное положение и оно нам ни

о чем не говорит.

Теперь начнем двигать верхнюю окружность вниз,

как показано на чертеже № 3-3. Сдвинем ее на одну

четверть и зафиксируем на нижней окружности. В этом

положении уже можно производить гармоническое

90

НИС К-10

91

счисление. Диаметры окружностей уменьшились. Был

полный диаметр п, стал п*, и второй окружности полный

диаметр м, стал м*.

Итак мы имеем исходные данные п и м, и получили

п* и м*. Точно также мы можем получить и третью пару

прямых п** м** Они гармоничны и пропорциональны в

силу нашего аппарата, двух окружностей.

Скажем так, что диаметры убывают линейно,

пропорционально, таким образом, что существует при

ступенчатом отсчете: равенство разности произведений

прямых. Как оно выглядит:

п -м – п* -м* = п* -м* – п** -м**

Словесно можно сказать, что если из произведения

двух больших прямых п и м, вычесть произведение двух

средних п* и м*, то они будут равны, произведению двух

средних п* и м*, с вычетом меньшей, третьей прямой, п**

и м**.

Подобное равенство получается не всегда верным.

Это равенство можно получить при определенных

91

НИС К-10

92

фиксированных положениях прямых, бывших диаметров в

окружностях, ставшими потом, можно сказать, хордами

окружностей. Это тайна за семью печатями. Но эту тайну

нам необходимо разгадать, найти истину. Такова наша

задача. Все тайное должно сталь явным.

Но, имея это равенство, оно нам ничего, кроме

таинственности, не говорит. Вычитаемые произведения

образуют равенство. Восемь величин и все пока

неизвестны. Приравняем равенство нулю. Тогда оно будет

выглядеть иначе:

п - м + п** - м** – 2 п* - м* = 0

Теперь посмотрим, так ли у нас неизвестны все

значения? Судя по чертежу, расстояния между прямыми,

хордами, можем убрать, не только без ущебра, но и с

пользой для дела. Если п* = ¾ п, а также п** = п / 2, то

после преобразования произведений получим;

2м – 3м* + м** = 0

Это уже кое-что. Теперь представим уравнение в

виде равенства, соответствующего нашей формулировке.

3м* = 2м + м**

Получается, что три прямых одной длины, равны

сумме двух больших и одной меньшей прямой. Напишем

все три уравнения относительно каждой неизвестной.

м = ( 3м* – м**) : 2

м* = (2м + м**) : 3

м** = 3м* – 2м

Мы будем утверждать, что это проективные

равенства, поскольку это связано с гармоническими

свойствами диаметров и хорд окружностей.

Решение трехлинейного уравнения

Рассмотрим трехлинейное уравнение, которое нами

только что было получено.

3м* – 2 м – м** = 0

92

НИС К-10

93

Рассматривая трехлинейное уравнение, видим, что

оно имеет три неизвестных. И стало быть оно не

разрешимо. Да, если бы не одно обстоятельство. Это

уравнение, а значит, получено из какой-то реально

существующей зависимости. Скажем так, если это, то это,

а если так, то так...

Прочитаем еще раз.

3м* = 2м + м**


По обе стороны равенства по три прямых. Двум

линиям до м не хватаем добавки, приращения: м* + х, м**

+ 3х. Нарастим эти прямые указанными значениями и

получим:

3м* + 3х = 2м + м** + 3х

Теперь решим отдельно левую и правую части

равенства. И получим:

3м* + 3х = 3м 2м + м** + 3х = 3м

м* + х = м м** + 3х = м

м* = м – х м** = м – 3х

х = м – м* х = (м – м**) : 3

Возьмем информацию, заданные числа из таблицы

№ 2. В пятом столбике, например, м = 8. м* = 7,6. м** =

6,8. И определим добавку х. Тогда

х = 8 – 7,6 = 0,4 и х = (8 – 6,8) : 3 = 0,4

Решим и уравнение.

3 м* = 2м + м** 3-7,6 = 2-8 + 6,8 22,8 = 22,8

Вот такие мы получили единицы. Это говорит о

том, что наше уравнение правильно. И наше уравнение

имеет решение при любом значении единиц. Мы снова

повторяем, что мы решаем уравнения не в цифрах и

числах, а в единицах.

93

НИС К-10

94

Итак, первую часть нашей задачи мы решили.

Нашли значения М всех трех прямых. Теперь наша задача

найти значения всех трех прямых П.

Значения величин п и м

Заметим, что во время исследования, построения

проективных геометрических фигур, мы диаметры

окружностей случайно брали равными восьми единицам.

Если взять другие единицы, то равенство не получится.

Это нас сначала обеспокоило, а потом заинтересовало. Мы

построили систему окружностей равную 10 единицам, по

тому же принципу, динамических окружностей и

убывающих диаметров. Данные подставили в равенство и

не получили нужного результата. Равенство оказалось

неверным. Вот счисленные величин и результат.

п -м – п* -м* = п* -м* – п** -м**

10 -10 – 7,5 -9,8 = 7,5 -9,8 – 5 –8,7

100 – 73,5 = 73,5 – 43,5

26,5 = 30,0

Это озадачило нас. Точно также, не пригодны для

выполнения равенства, оказались и другие единицы. Пока

была обнаружена, найдена одна цифра из ВОСЬМИ

единиц. Не может же это число быть магическим? При

этом мы отметили, равенство по значению м верно, при

любых величинах м, но при определенных значениях п.

Мы рассуждали, что п и м – это прямые линии и

равенство допускает увеличение и уменьшение значения п

в два раза. Мы вспомнили, что п – это расстояние, а не

хорда, после полного диаметра. В трехлинейном

уравнении, которое мы решали, 3м* – 2м – м** = 0,

значения п нет. Так как, все три линии, чертеж № 3-1,

расположены параллельно и могут находиться на любых

расстояниях друг от друга. При любом их параллельном

94

НИС К-10

95

расположении в окружности, на фиксированных

расстояниях, уравнение имеет решение.

В зависимости от добавки, уравнения м*– м + х = 0

и уравнение м**– м + 3х = 0, имеют глубокий смысл. Они

верны при значениях, таблица №2, м = 8, м* = 7,6, м** =

6,8 при добавке х = 0,4 единицам. Но равенство не

решается при любом значении п. Опытным путем мы

нашли значения п и поместили в таблицу №1.

п 1 2 4 8 16 32 64 128 256 ...

п* 0,75 1,5 3 6 12 24 48 96 192 ...

п** 0,5 1 2 4 8 16 32 64 128 ...

Для примера, решим равенство, по следующим

данным взятым из таблиц 1 и 2, по четвертым столбцам.

п -м – п* -м* = п* -м* – п** -м**

8 -8 – 6 -7,7 = 6 –7,7 – 4 -7,1

64 – 46,2 = 46,2 – 28,4

17,8 = 17,8

17,8 – 17,8 = 0 17,8 : 17,8 = 1

Равенство, как видим имеет решение. Как

уравнение, оно приводится к нулю. А как отношение –

равно единице. Но это еще не все самое интересное.

ПОКАЗАТЕЛИ РАВЕНСТВА

Вернемся к нашему известному равенству

п-м – п*-м* = п*-м* – п**-м**

В этом, скажем, динамическом равенстве, обе части,

правая и левая, равны между собой. Конечно, при

определенных значениях п. Но мы возьмем только левую

часть. Запишем так:

п-м = в* и п*-м* = в** и в* – в** = К = К** – К*

95

НИС К-10

96

в* = 8-7 = 56 в** = 6-6,9 = 41,4

К* = 56 – 41,4 = 14,6

в* = 8-8 = 64 в** = 6-7,9 = 47,4

К** = 64 – 47,4 = 16,6

К = К** – К* = 16,6 – 14,6 = 2

Подобную гармоничность мы наблюдаем в наших

таблицах 4 и 5. В обоих таблицах показатель К равен 2

единицам. К* – это предыдущий показатель, а К** – это

последующий показатель. И получается, что

гармоничность – это игра цифр, в нашем случае игра

единиц.

Таблица 2

х 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

м 8,0................................................................

м* 8,0 7,9 7,8 7,7 7,6 7,5 7,4 7,3

м** 8,0 7,7 7,4 7,1 6,8 6,5 6,2 5,9

в* – в** 16,0 16,6 17,2 17,8 18,4 19,0 19,6 20,2

К** – К* 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6

Таблица 3

х ....................................0,1................................................

м

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

м* – 0,1 0,9 1,9 2,9 3,9 4,9 5,9 6,9 7,9

м** – 0,3 0,7 1,7 2,7 3,7 4,7 5,7 6,7 7,7

в* – в**0,6 2,6 4,6 6,6 8,6 10,6 12,6 14,6 16,6

К 2 2 2 2 2 2 2 2

Таблица 4

х ....................................0,2................................................

м 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

м* – 0,2 0,8 1,8 2,8 3,8 4,8 5,8 6,8 7,8

96

НИС К-10

97

м** – 0,6 0,4 1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4 7,4

в* – в** 1,2 3,2 5,2 7,2 9,2 11,2 13,2 15,2 17,2

К 2 2 2 2 2 2 2 2

РАВЕНСТВО ПЛОЩАДЕЙ

Теперь пора еще внести одну ясность в наше

равенство, основанное на гармоничности двух

окружностей. Напомним наше равенство:

п-м – п*-м** = п*-м** – п**-м**

Равенство состоит из четырех произведений, но два

из них равны. Следовательно, у нас всего три

произведения. И в каждом произведении отрезки прямых.

Например, п и м – это два полных диаметра заданных

окружностей, при этом, перпендикулярных, относительно

друг друга. А произведение двух равных

перпендикулярных прямых – это площадь квадрата. Мы

принимали при работе диаметры равными 8 единицам.

Значит, первый квадрат был равен С = 8-8 = 64, второй С =

8-6 = 48, третий С = 8-4 = 32. Вот что и получалось: 64 – 48

= 48 – 32, то есть 16 =16. С = 16 – 16 = 0, а отношение: а* :

а** = 16 : 16 = 1. Эти факты говорят, что наше равенство

правильно.

97

НИС К-10

98

Чертеж № 3-4

Если произведения равенства обозначим – а, то

можем записать, что

а – а* = а* – а**

Запишем равенство в виде уравнения

а – 2а* + а** = 0, и еще так: а + а** = 2а*.

А теперь запишем с добавкой 2х:

а +а** + 2х = 2а* + 2х

А отсюда можем записать, что

а +а** + 2х = 2а, 2х + а** = а, а** = а – 2х,

х = (а – а**) : 2

98

НИС К-10

99

2а* + 2х =2а, а* + х = а, а* = а – х, х = а – а*

А теперь окончательно сделаем подсчеты площадей

в единицах, определив добавки к площадям, второго и

третьего прямоугольника.

Первый квадрат имеет площадь: а = п-м = 8-8= 64

Второй прямоугольник: а* = п*-м* = 6-8=48

Третий прямоугольник: а** п**-м**= 4-8=32

Таким образом, из этого следует, что для второго

прямоугольник необходима добавка:

а – а* = х, 64 – 48 = 16 единиц.

И для второго:

а – а** = 2х, 64 – 32 = 32 единиц.

Это при условии, что площади не зависят от м, а п у

нас зафиксировано: п=8, п*-6, п**-4. Поэтому и

получается, что

а=пм=8-8-64, а*=8-6=48, а**=8-4=32

Но у нас м убывающая хорда от полного диаметра,

принятая нами м=8 единицам, до нуля, гармонично и

пропорционально с диаметром второй окружности п, то

результаты получаются совершенно иные. Это происходит

потому, что изменяются площади прямоугольников.

Теперь мы имеем и на динамические гармонические

и пропорциональные площади систему уравнений, которые

можно успешно решить.

а+а**–2а*=0, а–а*–х=0 а–а**=0

Нам сейчас необходимо решить равенство.

п-м–п*-м*=п*-м*–п**-м**

Возьмем данные из таблиц:

п=8, п*-6, п**=4, х=0 и м=8, м*=7,6, м**=6,8

8-8–6-7,6 = 6-7,6–4-6,8 64–45,6 = 45,6–27,2

18,4 = 18,4

99

НИС К-10

100

А теперь запишем, что а=64, а*=45,6, и а**=27,2

а– а*= 18,4 и а*–а**= 18,4

Так вот что является добавкой. Недостает до полной

площади квадрата у второго прямоугольника х=18,4

единиц, а у третьего прямоугольника 2х= 36,8 единиц.

Добавка К – есть разность площадей.

ОСНОВАНИЕ

Основанием мы называем разность между двумя

соседними вертикальными рядами К. Основание равно, как

было показано выше, К=К**–К*. В третьей и четвертой

таблице К=2 единицам. Самое интересное, что оно не

зависит от добавки. В одной таблице добавка х=0,1, а в

другой х=0,2. Получается, что в определенных ситуациях,

какие бы единицы мы не взяли в расчет, а основание все

равно будет равно К=2. Конечно, если мы изменим

ситуацию, систему счисления, то получим другую картину,

численно другое основание.

Покажем на примере. Примем: п=8, п*=6, п**=4,

х=10 и м=50 единицам.

1. Если м=50, то м*=40 и м**=20, отсюда

8-50– 6-40 = 6-40–4-20

400–240 = 240–80, в итоге получаем 160 = 160,

К=160.

2. Если при тех же значениях п, изменим значение

м, и возьмем его на одну единицу больше, то получим:

8-51–6-41 = 6-41–4-21,

408–246 – 246–84, в итоге получим 162=162, К=162.

3. К=К**–К*= 162 – 160 = 2 единицам. И так по

всему ряду вычислений.

100

НИС К-10

101

ЕДИНИЧНОЕ ЧИСЛО П

Пара нам обратиться к значению п. Это загадочное,

таинственное и магическое число п все время не удается

разгадать. У нас, в соотве6тствии с чертежом №3-4, было

принято значение п=8, п*=6, п**=4, п***=2, п****=0.

Таким был принят шаг сдвига окружности. Значение м, мы

рассчитали по формуле 3м* = 2м + м** и внесли в

таблицы. И эти значения удовлетворяли наше равенство:

п-м – п*-м* = п*-м* – п**-м**

Но стоило изменить значение п, отличное от выше

приведенного, как равенство не соблюдалось. Значение п

для нас стало таинственным и загадочным. Поэтому мы

поставили задачу найти его, во что бы то ни стало. Я не

уверен, что это никому не известно. Но для нас – это тайна.

Единственно пока нам известно, из значений принятых п,

что:

п – п* = п* – п**, то есть, 8 – 6 = 6 – 4, 2 =2.

И мы, в поисках п, составили группы цифр и чисел,

таблица №5, Мы решили так, что если в группах счисления

мы найдем цифры 8, 6, 4, 2, то тогда мы найдем разгадку

свойств значений числа п. Мы на это надеялись, потому

что цифры обладают закономерностью, то есть, они

гармоничны. Чтобы найти значения п, мы составили

группы цифр и чисел. В каждой группе сдвинули

натуральную строчку цифр на один ряд. в каждой группе

четыре строчки. Это мы исходили из того, что в

окружности можно построить четыре гармонических

хорды, по нашему условию. Принцип построения групп

самый простой. В первой группе сдвинули строчку цифр

101

НИС К-10

102

на одну цифру, во второй на две цифры. и так далее.

Первая строчка обозначает значение полного диаметра

окружности п единиц, вторая строчка п* единиц, третья

строчка п** единиц. А вот четвертая строчки обозначает

номер гармоничного рчда. Построив группы, мы

обнаружили удивительные свойства цифр и чисел. И

нашли, конечно, свой ряд во второй группе. Оказалось, что

гармонический ряд, есть в каждой группе, за исключением

нулевой группы. В каждой группе гармонические ряды

выделены в скобки, с верху до низу.

п 4 8 12 16 20 24

28

32 итд.

п*

3

6

9

12

15

18

21

24

п** 2 4

6

8

10

12

14

16

ГР 1 2

3

4

5

6

7

8

Нулевая группа

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Первая группа

п

1 2 3 (4) 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

п*

1 2 (3) 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

п**

1 (2) 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Н

(1) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Вторая группа

п 1 2 3 4 5 6 7 (8) 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

п* 1 2 3 4 5 (6) 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

п** 1 2 3 (4) 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Н

1 (2) 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Третья группа

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (12) 13 14

1 2 3 4 5 6 7 8 (9) 10 11

102

НИС К-10

103

1 2 3 4 5 (6) 7 8

1 2 (3) 4 5

Четвертая группа

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (16) 17

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (12) 13

1 2 3 4 5 6 7 (8) 9

1 2 3 (4) 5

Пятая группа

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (20)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (15)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

(10)

1

2 3 4 (5)

Так вот. Несколько рядов из групп мы выписали в

отдельную таблицу. Наш номер ряда второй, цифрами

которого мы все время ране оперировали – 8,6,4,2.

Рассматривая ряды, мы пришли к выводу и составили

определенные формулы:

1. Для гармонических рядов всех групп

п : Н = 4, п = 4 Н, Н = п : 4

п* : Н = 3, п* = 3 Н, Н = п* : 3

п : п** = 2, п = 2 п**, п** = п : 2

п : п* = 3:4, п = 4 п* : 3, п* = 3 п : 4

п* : п** = 3:2, п* = 3п** : 2, п** = 2 п* : 3


2. Для всех рядов, при нахождении гармонических

рядов

Н = п – п*, Н = п* – п**,

п – п* = п* – п**, 2п*= п+п**

3. Равенство произведений для гармонических

рядов

п - п* = 2 п*- п**.

103

НИС К-10

104

Есть много и других свойств в группах цифр. Но мы

ограничимся данными формулами. В заключении приведем

пример. Нам дано, скажем, п = 100 единиц, тогда

п**= п : 2 = 100 : 2 = 50, п* = (п + п**) : 2 =

(100+50) : 2 = 75, Н = п : 4 = 25.

Из этого следует, что мы имеем дело с 25

гармоническим рядом, в 25 группе, где п = 100, п* = 75,

п** = 50 единицам.

Итак, мы выполнили свою задачу. Мы нашли, что

гармонические цифры находятся в группах, и что

гармонических рядов не так уж и много, которые бы

соответствовали нашему равенству:

п-м – п*-м* = п*-м* – п**-м**,

и номеру ряда в группе

п – п* = п* – п**.

В выполнением данной работы, с постановкой

последней точки и опубликованием работы в печати, я –

Скатулин Николай Иванович, как автор, без лишней

скромности, объявляю себя Доктором математических

наук, Доктором геометрии.


Соответствующим органам, правительства

Республики Беларусь, прошу выдать удостоверение.

Что? Посмеялись? И хорошо! Легче жить.

104

НИС К-10

105

В заключение, я хотел бы обратить внимание на

некоторые свойства геометрических фигур. Возьмем

проективный квадрат А–В–В1–А1 и проведем в нем

диагонали А–В1 и В–А1. Выделим в квадрате

прямоугольный треугольник А–В–В1. В треугольнике

выделим полу диагональ В–Н. И мы обнаружим, что эта

полу диагональ В–Н одновременно является:

– Высота треугольника А–В–В1,

– Медиана треугольника, делит А–В1 пополам,

– Биссектриса треугольника, делит угол В пополам.

Так заключаем, утверждая, что отрезок проективной

прямой В–Н выступает в проективной геометрической

фигуре в четырех лицах, а именно: он – полу диагональ,

высота, медиана и биссектриса. Вне зависимости от

геометрической фигуры: треугольника, квадрата,

прямоугольника, трапеции, четыре прекрасные отрезка

прямой не изменяют свои проективные свойства

однозначно. Они обладают свойством проективного

перехода по значению. С точки художественного образа

они помнят – кто они, были в прошлом и могут быть

теперь, при изменении фигуры. Тут действует закон

сохранения


исходных


свойств


проективных

геометрических фигур. Мне нечего больше добавить, как

предложить читателю построить трапецию, разделить

пополам и в ней провести диагонали. И тогда точки их

пересечения Н–М–К будут лежать или принадлежать одной

прямой Р – абсолюту. Это и будет доказательством: закона

сохранения проективных свойств геометрических фигур.

Теперь я ставлю точку. если не получается с построением,

воспользуйтесь чертежом №11 и его пояснением.

105

Document Outline

Книга четырнадцатая

Первая группа